Matematyka.pl

Witam, mam problem z tym zadaniem: rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \cos ^2 x + \cos ^3 x + \cos ^4 x + \ldots = \cos x + 1}\), gdzie lewa strona równania jest szeregiem geometrycznym zbieżnym.

Lewa stona to
\(\displaystyle{ \frac{\cos^2 x}{1 - \cos x}}\) zatem

\(\displaystyle{ \frac{\cos^2 x}{1-\cos x}-\cos x-1=0 \\[1ex]
\frac{ \cos^2 x - \cos x + \cos^2 x - 1 + \cos x }{1-\cos x} =0}\)

\(\displaystyle{ \frac{2 \cos^2 x-1}{1-\cos x}=0}\) więc

\(\displaystyle{ \cos x \neq 1 \\[2ex]
2\cos ^2x-1=0 \\[1ex]
\cos ^2x=\frac{1}{2} \\[1ex]
\cos x=\frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

zatem \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4}}+2k \pi \vee x= -\frac{ \pi }{4}+2k \pi}\)

Odpowiedź jest inna, muszę gdzieś robić błąd.
Proszę o pomoc

Nie napisałeś, kiedy lewa strona równania w ogóle przedstawia szereg zbieżny: gdy \(\displaystyle{ \cos x=+/-1}\), to tak nie jest - wprawdzie nie wpływa to na rozwiązanie, ale nieuwzględnienie tego może ew. spowodować stratę punktów na sprawdzianie (wprawdzie jedynkę wykluczyłeś z innego tytułu, ale \(\displaystyle{ -1}\) już nie).
Natomiast odpowiedź jest poprawna [NIE JEST -patrz niżej], o ile zadanie zostało dobrze przepisane (chodzi o treść).

-- 30 mar 2016, o 18:12 --

A mógłbyś napisać tę odpowiedź, którą masz podaną? Bo może to jest to samo, tylko zapisane w innej formie...

-- 30 mar 2016, o 18:18 --

Aaa, no tak, jeszcze może być \(\displaystyle{ \cos x=-\frac{1}{\sqrt{2}}}\), sorry.

W książce odpowiedź to: \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4}+ \frac{k \pi }{2}}\)

Tej odpowiedzi kompletnie nie jestem w stanie wyjaśnić. Może ktoś wie?
P.S Mógłbyś napisać skąd wziąłeś to \(\displaystyle{ \cos x=- \frac{1}{ \sqrt{2} }}\)?

\(\displaystyle{ - \frac{1}{ \sqrt{2} }}\) to to samo, co
\(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\), tylko ja nie przepadam za usuwaniem niewymierności z mianownika. Po prostu z tego, że \(\displaystyle{ \cos ^{2}x= \frac{1}{2}}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ \cos x= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) - no bo \(\displaystyle{ (-a)^{2}=a^{2}}\), więc równie dobrze może być \(\displaystyle{ \cos x=-\frac{ \sqrt{2}}{2}}\), a to prowadzi do \(\displaystyle{ x= +/-\frac{3}{4}\pi+2k\pi, k \in \ZZ}\). Z połączenia tego rozwiązania z otrzymanym przez Ciebie łatwo uzyskać wynik z książki.

Aaa, rzeczywiście, głupi błąd z mojej strony. Dzięki wielkie za pomoc!

Witam mam problem z tym zadaniem nie rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ q=\cos x}\) a nie \(\displaystyle{ q= \cos}\) ?

Wtedy szereg miałby postać : \(\displaystyle{ \cos^2 x + \cos^3 x^2 + \cos^4 x^3 + \ldots}\)

Ponieważ funkcja występuje z argumentem, nie ma czegoś takiego jak samo \(\displaystyle{ \cos}\).
\(\displaystyle{ \cos^3 x = (\cos x)^3}\)

Racja dziękuje

Mam pytanie, czemu nie bierzemy pod uwage tego ze pierwszy wyraz ciagu jest rowny \(\displaystyle{ 0}\)? Wtedy chyba tez suma bedzie wynosiła \(\displaystyle{ \frac{a}{1-q}}\) .

A czy równośc będzie zachodziła gdy \(\displaystyle{ \cos x=0}\)?