Matematyka.pl

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), gdzie \(\displaystyle{ m \in \mathbb{R}}\), równanie ma rozwiązanie

\(\displaystyle{ 4 ^{x} + 4 ^{2x} + 4 ^{3x} + ... = \frac{m}{m+3}}\)

Jeśli \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty , 0\right)}\) to mamy po prawej stronie sumę nieskończonego szeregu geometrycznego o sumie \(\displaystyle{ S= \frac{4 ^{x} }{1-4 ^{x} }}\)

Jak postąpić dalej, uznać, że suma musi być większa od zera, czyli prawa strona też większa od zera? Wtedy wyjdzie poprawnie, ale chciałbym poznać bardziej konkretne rozumowanie.

\(\displaystyle{ 4 ^{x} + 4 ^{2x} + 4 ^{3x} + ... = \frac{m}{m+3}}\)
zał 1).
\(\displaystyle{ \frac{m}{m+3}>0}\)

\(\displaystyle{ 4 ^{x} + 4 ^{2x} + 4 ^{3x} + ... = \frac{m}{m+3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ 4 ^{x}}{1-4^{x}} = \frac{m}{m+3}}\)
\(\displaystyle{ 4 ^{x} = \frac{m}{m+3}(1-4^{x})}\)
\(\displaystyle{ 4 ^{x} \left( 1+\frac{m}{m+3}\right) = \frac{m}{m+3}}\)
\(\displaystyle{ 4 ^{x} = \frac{}{} \frac{m}{2m+3}}\)
zał 2).
\(\displaystyle{ 0<\frac{m}{2m+3}<1}\) bo \(\displaystyle{ 0<4^{x}<1}\)