Matematyka.pl

Cześć, nie mogę zrozumieć jak ułożyć równanie z momentami sił w tej sytuacji:

Na szpulkę o masie \(\displaystyle{ m = 0,01 kg}\) i promieniach \(\displaystyle{ r = 2 cm, R = 8 cm}\), oraz momencie bezwładności \(\displaystyle{ I = 6 \cdot 10 ^{-6} kg \cdot m ^{2}}\), nawinięta jest nitka jak na rysunku. Do końca nitki przyłożono poziomą siłę \(\displaystyle{ F = 0,001 N}\). Oblicz przyspieszenie liniowe szpulki, która może toczyć się po poziomej płaszczyźnie bez poślizgu.



Według mnie moment siły przyłożonej i moment siły tarcia mają zwrot za rysunek, kręcą się zgodnie ze wskazówkami zegara (czyli są dodatnie?)
i jeśli są dodatnie, to się je po prostu dodaje?
czyli \(\displaystyle{ M _{F} + M _{T} = I \frac{a}{R}}\) ?
i nie wiem też, co z tą siłą tarcia mam później zrobić

-- 28 mar 2016, o 14:54 --

proszę zauważyć, że
- z założenia dla małych prędkości ruchu siła tarcia nie zależy od prędkości;
- moment siły tarcia i moment bezwładności masy w jej ruchu obrotowym są działaniami "przeciwstawiającymi się" działaniu siły "pociągowej" nici wykonywanym nad tym ciałem.
Zatem mają one przeciwne zwroty.
Zapisujemy to tak:
Sumą momentów względem chwilowego środka obrotu, którym jest punkt styczności rolki z płaszczyzną po której się ona toczy,
\(\displaystyle{ M_T + I \cdot \varepsilon - F \cdot (R+r)=0}\)

W.Kr.

Czy moment bezwładności w tym równaniu nie powinien wynosić \(\displaystyle{ I+mR ^{2}}\)? Bo podany w zadaniu moment to moment względem osi przechodzącej przez środek masy, więc z twierdzenia Steinera, by było względem chwilowej osi obrotu, powinniśmy dodać \(\displaystyle{ mR^{2}}\)?
Nie mogę zrozumieć czemu nie bierzemy jako osi obrotu osi przechodzącej przez środek masy, tylko jest nagle jakaś chwilowa oś obrotu.

Nie, bo ruch obrotowy szpulki jest ruchem obrotowym względem jej osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku.

ania444 pisze:Cześć, nie mogę zrozumieć jak ułożyć równanie z momentami sił w tej sytuacji:

Według mnie moment siły przyłożonej i moment siły tarcia mają zwrot za rysunek, kręcą się zgodnie ze wskazówkami zegara (czyli są dodatnie?)
i jeśli są dodatnie, to się je po prostu dodaje?
czyli \(\displaystyle{ M _{F} + M _{T} = I \frac{a}{R}}\) ?
i nie wiem też, co z tą siłą tarcia mam później zrobić

-- 28 mar 2016, o 14:54 --

................................................................................
Co zrobić z siłą tarcia ?
....................................
Ruch szpulki jest złożeniem ruchu obrotowego( dla którego równania Pani prawidłowo wypisała!) i ruch postępowego wzgl. jej środka p.O- brak tego równania!.
Z II zasady dynamiki dla ruchu postępowego mamy to dodatkowe równanie:
\(\displaystyle{ m \cdot a=F-T}\)
Skąd siła tarcia T:
(1)\(\displaystyle{ T=F-m \cdot a}\)
.......................................
Ponadto jeżeli nie zachodzi poślizg to musi zachodzić związek między przyśpieszeniami- liniowym, a kątowym:
(2) \(\displaystyle{ a=\epsilon \cdot R}\)
....................
Dysponujemy trzema równaniami, z których znajdziemy szukane przyśpieszenie liniowe.
........................................................
Określenie momentów sił
Momenty sił wzgl środka szpulki mają postać.:
\(\displaystyle{ M _{o} _{F}=F \cdot r}\)
\(\displaystyle{ M _{o} _{T}=T \cdot R}\)
Przez środek szpulki punkt O, przechodzi oś obrotu szpulki, prostopadła do płaszczyzny rysunku.
/Znaki momentów takie same, stąd momenty od siły tarcia T i siły napędowej F się sumują w równaniu wynikajacym z II zasady Newtona dla ruchu obrotowego./
..............................................
Rozpatrywany ruch szpulki wzgl.jej środka - nie korzystamy z tw. Steinera .

Dziękuję bardzo! Z tych równań wreszcie wychodzi poprawny wynik, ale mam jeszcze pytanie - gdy momenty sił mają takie same zwroty to zawsze się je sumuje czy tylko wtedy, gdy kręcą się zgodnie ze wskazówkamk zegara? I po drugiej stronie niezależnie od wszystkiego będzie stała postać \(\displaystyle{ I \cdot \epsilon}\), czy czasem będzie to \(\displaystyle{ -I \cdot \epsilon}\)?

W ruchu obrot. szpula pozostaje w równowadze jeżeli suma momentów wszystkich sił wzgl. jej środka będzie równa zeru.
\(\displaystyle{ M _{F} +M _{T} -M=0}\)
.............................................
\(\displaystyle{ M= I \cdot \epsilon}\)

\(\displaystyle{ J \cdot \epsilon=M _{F} +M _{T}}\)

Moment \(\displaystyle{ M=J \cdot \epsilon}\) odzwierciedla moment bezwładności ciała w ruchu obrotowym, to ten moment równoważy momenty składowe od sił F i T i szpula pozostaje w równowadze.
/Momenty składowe powodują obrót szpuli w tym samym kierunku, stąd przyjmujemy dla nich ten sam znak./

Dziękuję

Między równością algebraiczną a równoważeniem czegoś przez coś jest subtelna ale istotna różnica pojęciowa.
Inercja obrotowa i moment siły tarcia przeciwstawiają się (każda na swój sposób) zmianie stanu ruchu obrotowego tej szpuli. Dla tego to mają znaki i zwroty swoich wektorów przeciwne do znaku i zwrotu momentu 'usiłującego" zmienić ten stan.
Myślę, że tak należy objaśniać wzajemną przeciwność znaków tych momentów.
W.Kr.