Opis zbiorów i badanie prawdziwości twierdzeń

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
szaman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 22 lis 2006, o 10:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 1 raz

Opis zbiorów i badanie prawdziwości twierdzeń

Post autor: szaman » 27 sie 2007, o 17:29

Szanowni Państwo

Prosiłbym jak kto może o sprawdzenie czy wystarcza taka odpowiedz do zadania 1 i o pomoc w rozwiązaniu zadania 2 bo nie mogę dojść z notatek jak się to rozwiązywało i jak można o wytłumaczenie.

Zad.2
Niech \(\displaystyle{ A_n}\) będzie odcinkiem \(\displaystyle{ \left({1 \over n} ; 2-{1\over n}\right]}\) (nawias domknięty z prawej strony). Opisz zbiory:
\(\displaystyle{ a) \bigcap_{n=4}^{\infty} A_n}\)

\(\displaystyle{ b) \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n}\)

\(\displaystyle{ c) \bigcap_{n=2}^{6} A_n}\)

\(\displaystyle{ d) \bigcup_{n=3}^{8} A_n}\)


Zad. 3
Udowodnij lub znajdź kontrprzykład na następujące twierdzenie:

\(\displaystyle{ a)\forall n \in \mathbb{N} \quad5n - 8 \geq 3n}\)
\(\displaystyle{ b)\exists t \in \mathbb{R} \quad3t + 7 \leq 5t}\)
\(\displaystyle{ c)\exists t \in \mathbb{R} \quad\forall n \in \mathbb{N} \quad n + t = n^2}\)
\(\displaystyle{ d)\exists n \in \mathbb{N} \quad\forall t \in \mathbb{R} \quad t+n>n^2}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) -liczby naturalne
\(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)- liczby rzeczywiste

Odp.
a) Dla \(\displaystyle{ n=0}\) Fałsz
b) Dla \(\displaystyle{ t=5}\) Prawda
c) Dla \(\displaystyle{ n=1}\) i \(\displaystyle{ t =1}\) Fałsz
d) Dla \(\displaystyle{ n=0}\) i \(\displaystyle{ t=1}\) Prawda


Z góry dziękuję za pomoc.

Poprawiłem nieco zapis i temat.
Taka uwaga na przyszłość: dla zadań z różnych działów najlepiej założyć oddzielne tematy, każdy w odpowiednim dziale.
max
Ostatnio zmieniony 27 sie 2007, o 19:11 przez szaman, łącznie zmieniany 2 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Opis zbiorów i badanie prawdziwości twierdzeń

Post autor: max » 27 sie 2007, o 18:59

Zadanie drugie:
Jeśli mamy ustalone \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N}}\), to przyjmujemy, że:
\(\displaystyle{ x\in \bigcup_{n = k}^{\infty} A_{n} \iff \exists n\in \mathbb{N} \, (n \geqslant k \Rightarrow x\in A_{n})\\
x\in \bigcap_{n = k}^{\infty} A_{n} \iff \forall n\in \mathbb{N} \, (n \geqslant k\Rightarrow x\in A_{n})}\)

Ponadto, gdy weźmiemy jeszcze pewne ustalone \(\displaystyle{ l \in \mathbb{N}}\) to:
\(\displaystyle{ x\in \bigcup_{n = k}^{l} A_{n} \iff \exists n\in \mathbb{N} \, (l \geqslant n \geqslant k \Rightarrow x\in A_{n})\\
x\in \bigcap_{n = k}^{l} A_{n} \iff \forall n\in \mathbb{N} \, (l \geqslant n \geqslant k\Rightarrow x\in A_{n})}\)
.

Czyli \(\displaystyle{ x\in \bigcup_{n = k}^{\infty} A_{n}}\) oznacza, że \(\displaystyle{ x}\) należy do przynajmniej jednego zbioru o indeksie nie mniejszym niż \(\displaystyle{ k}\) z ciągu zbiorów \(\displaystyle{ (A_{n})}\), natomiast zapis \(\displaystyle{ x\in \bigcap_{n = k}^{\infty}}\) mówi, iż \(\displaystyle{ x}\) należy do każdego ze zbiorów o indeksie nie mniejszym od \(\displaystyle{ k}\) z ciągu \(\displaystyle{ (A_{n})}\).

I podobnie jest z:
\(\displaystyle{ x\in \bigcup_{n = k}^{l} A_{n}\\
x\in \bigcap_{n = k}^{l} A_{n}}\)

W pierwszym wypadku \(\displaystyle{ x}\) należy do przynajmniej jednego zbioru (z ciągu zbiorów \(\displaystyle{ (A_{n})}\)) o indeksie nie mniejszym niż \(\displaystyle{ k}\) i nie większym niż \(\displaystyle{ l}\),
a w drugim \(\displaystyle{ x}\) należy do każdego ze zbiorów (z ciągu zbiorów \(\displaystyle{ (A_{n})}\)) o indeksie nie mniejszym od \(\displaystyle{ k}\) i nie większym niż \(\displaystyle{ l}\).


Zadanie trzecie zwane również pierwszym ;)
a) i b) dobrze,
c) źle (jeśli chcemy pokazać, że to zdanie jest fałszywe, to musimy udowodnić zaprzeczenie, czyli pokazać, że dla każdego \(\displaystyle{ t\in \mathbb{R}}\) istnieje takie \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\), że \(\displaystyle{ n + t \neq n^{2}}\), a przytoczony przykład pokazuje nieprawdziwość tezy tylko dla \(\displaystyle{ t = 1}\))
d) podobnie jak w c) - podany przykład świadczy tylko o tym, że istnieje \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\), że istnieje dla niego takie \(\displaystyle{ t\in \mathbb{R}}\), że zachodzi \(\displaystyle{ t + n > n^{2}}\), a to nie jest jeszcze równoważne zadanemu zdaniu.

szaman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 22 lis 2006, o 10:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 1 raz

Opis zbiorów i badanie prawdziwości twierdzeń

Post autor: szaman » 27 sie 2007, o 22:09

Dziękuje bardzo za tak obszerną, dokładną i pełną treści odpowiedz i przeznaczony na nią czasz. Bo przeanalizowaniu teoriI co był mi Pan skłonny przytoczyć i notatek (co na ćwiczeniach mieliśmy tylko jeden przykład i nikt nam nie podal tej teorii ) otrzymałem następujące wyniki, jeśli mógłby Pan je sprawdzić bym był bardzo wdzięczny:

\(\displaystyle{ a) \bigcap_{n=4}^{\infty} A_n = (-{1 \over 4};2-{1 \over 4 }) \iff \forall n \mathbb{N}\quad 2-{1 \over 4 } q 2-{1 \over n } 2-{1 \over 4 } An \forall n}\)

\(\displaystyle{ b) \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = (-1;2-{1 \over 1 }) \iff \exists n \mathbb{N}\quad 2-{1 \over 1 } q 2-{1 \over n } 2-{1 \over 1 } An \exists n}\)

\(\displaystyle{ c) \bigcap_{n=2}^{6} A_n = (-{1 \over 2};2-{1 \over 2 }) \iff \forall n \mathbb{N}\quad 2-{1 \over 2 } q 2-{1 \over n } 2-{1 \over 2 } An \forall n}\)

\(\displaystyle{ b) \bigcup_{n=3}^{8} A_n = (-{1 \over 3 } ;2-{1 \over 3 }) \iff \exists n \mathbb{N}\quad 2-{1 \over 3 } q 2-{1 \over n } 2-{1 \over 3 } An \exists n}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Opis zbiorów i badanie prawdziwości twierdzeń

Post autor: max » 27 sie 2007, o 23:25

Żaden ze mnie 'Pan'...

Wyniki nie są dobre, proponuję jeszcze raz przyjrzeć się wyżej podanym definicjom, oraz pierwszemu przykładowi z iloczynem zbiorów:
a)
\(\displaystyle{ x \in \bigcap_{n = 4}^{\infty} A_{n} \iff x \in \bigcap_{n = 4}^{\infty} \left(\frac{1}{n}, 2 - \frac{1}{n}\right]\iff\\
\iff \forall n\in\mathbb{N}\left(n \geqslant 4 \Rightarrow x\in \left(\frac{1}{n}, 2 - \frac{1}{n}\right]\right)}\)

W związku z tym wnosimy, że:
\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{4}, 2 - \frac{1}{4}\right]}\)
(intuicyjnie możemy powiedzieć, że \(\displaystyle{ A_{4}}\) jest 'najmniejszym' przedziałem z danego ciągu - ma największy lewy koniec i najmniejszy prawy koniec)
co należałoby formalnie udowodnić, pokazując, że:
(1) Jeżeli \(\displaystyle{ x \in \bigcap_{n = 4}^{\infty} \left(\frac{1}{n}, 2 - \frac{1}{n}\right]}\) (czyli jeżeli \(\displaystyle{ x}\) należy do każdego z przedziałów \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{n}, 2 - \frac{1}{n}\right]}\) dla \(\displaystyle{ n \geqslant 4}\)), to również \(\displaystyle{ x\in \left(\frac{1}{4}, 2 - \frac{1}{4}\right]}\)
I na odwrót:
(2) Jeżeli \(\displaystyle{ x\in \left(\frac{1}{4}, 2 - \frac{1}{4}\right]}\), to także \(\displaystyle{ x \in \bigcap_{n = 4}^{\infty} \left(\frac{1}{n}, 2 - \frac{1}{n}\right]}\)

Dowód tych faktów jest już prosty, gdyż dla każdego \(\displaystyle{ n \geqslant 4}\) jest:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}\leqslant \frac{1}{4}\leqslant 2 - \frac{1}{4} \leqslant 2 - \frac{1}{n}}\)


Jeszcze jedna uwaga - mam wrażenie, że definicja sumy ciągu zbiorów i różnica między sumą a iloczynem nie jest do końca zrozumiała. Intuicyjnie rzecz ujmując suma zbiorów jest to 'najmniejszy' ze zbiorów w którym zawierają się wszystkie zbiory które sumujemy - innymi słowy suma zbiorów składa się ze wszystkich elementów sumowanych zbiorów (i tylko z tych elementów). Natomiast iloczyn zbiorów to 'największy' ze zbiorów będący podzbiorem każdego ze zbiorów iloczynu, lub mówiąc inaczej - iloczyn jest zbiorem składającym się ze wszystkich takich elementów, że należą one do każdego ze zbiorów iloczynu (i tylko z tych elementów).

szaman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 22 lis 2006, o 10:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 1 raz

Opis zbiorów i badanie prawdziwości twierdzeń

Post autor: szaman » 28 sie 2007, o 17:14

'Pan' - bo nie wiem czy rozmawiam z osobą w moim wieku czy z osobą dużo starszą ode mnie a poza tym dość jest chamstwa wszędzie.

Pisałem na górze w poście przy współrzędnych lewego punktu \(\displaystyle{ -}\) bo w wzorze na kartce miałem \(\displaystyle{ - {1 \over n}}\) a tu się pomyliłem przy przepisywaniu. Teraz spróbuje zrobić z tym minusem, prosił bym kolejny raz o sprawdzenie tego:

b)
\(\displaystyle{ x \in \bigcup_{n=1}^{\infty} \iff x \in \bigcup_{n=1}^{\infty} \left( - \frac{1}{n},2- \frac{1}{n}\right] \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff \exists n\in \mathbb{N} \left( n \geq 1 \Rightarrow x \in \left( -\frac{1}{n},2- \frac{1}{n}\right] \right)}\)
W związku z tym wnosimy, że:
\(\displaystyle{ \left(-\frac{1}{1},2- \frac{1}{1}\right] \Rightarrow \left(-1,1 \right]}\)
(intuicyjnie możemy powiedzieć, że A_{1} jest 'największym' przedziałem z danego ciągu - ma największy lewy koniec i najmniejszy prawy koniec)
co należałoby formalnie udowodnić, pokazując, że:
(1) Jeżeli\(\displaystyle{ x \in \bigcup_{n = 1}^{\infty} \left(-\frac{1}{n}, 2 - \frac{1}{n}\right]}\) (czyli jeżeli \(\displaystyle{ x}\) należy do każdego z przedziałów
\(\displaystyle{ \left(-\frac{1}{n}, 2 - \frac{1}{n}\right]}\) dla\(\displaystyle{ n \geqslant 1)}\), to również \(\displaystyle{ x\in \left(-1, 1\right]}\)
I na odwrót:
(2) Jeżeli\(\displaystyle{ x\in \left(-1, 1\right]}\), to także \(\displaystyle{ x \in \bigcup_{n = 1}^{\infty} \left(-\frac{1}{n}, 2 - \frac{1}{n}\right]}\)
Dowód tych faktów jest już prosty, gdyż dla każdego\(\displaystyle{ n \geqslant 1}\) jest:
\(\displaystyle{ -1\leqslant -\frac{1}{n}\leqslant 1 \leqslant 2 - \frac{1}{n}}\)

c)
\(\displaystyle{ x \in \bigcap_{n=2}^{6} \iff x \in \bigcap_{n=2}^{6} \left( - \frac{1}{n},2- \frac{1}{n}\right] \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff \forall n\in \mathbb{N} \left( 6 \geq n \geq 2 \Rightarrow x \in \left( -\frac{1}{n},2- \frac{1}{n}\right] \right)}\)
W związku z tym wnosimy, że:
\(\displaystyle{ \left(-\frac{1}{2},2- \frac{1}{2}\right]}\)
(intuicyjnie możemy powiedzieć, że A_{2} jest 'najmniejszym' przedziałem z danego ciągu - ma największy lewy koniec i najmniejszy prawy koniec)
co należałoby formalnie udowodnić, pokazując, że:
(1) Jeżeli\(\displaystyle{ x \in \bigcap_{n = 2}^{6} \left(-\frac{1}{n}, 2 - \frac{1}{n}\right]}\) (czyli jeżeli \(\displaystyle{ x}\) należy do każdego z przedziałów
\(\displaystyle{ \left(-\frac{1}{n}, 2 - \frac{1}{n}\right]}\) dla\(\displaystyle{ 6 \geqslant n \geqslant 2)}\), to również \(\displaystyle{ x\in \left(-\frac{1}{2}, 2- \frac{1}{2}\right]}\)
I na odwrót:
(2) Jeżeli\(\displaystyle{ x\in \left(-\frac{1}{2}, 2- \frac{1}{2}\right]}\), to także \(\displaystyle{ x \in \bigcap_{n = 2}^{6} \left(-\frac{1}{n}, 2 - \frac{1}{n}\right]}\)
Dowód tych faktów jest już prosty, gdyż dla każdego\(\displaystyle{ n \geqslant 2}\) jest:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\leqslant -\frac{1}{n}\leqslant 2-\frac{1}{2} \leqslant 2 - \frac{1}{n}}\)


d)
\(\displaystyle{ x \in \bigcup_{n=3}^{8} \iff x \in \bigcup_{n=3}^{8} \left( - \frac{1}{n},2- \frac{1}{n}\right] \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff \exists n\in \mathbb{N} \left( 8 \geq n \geq 3 \Rightarrow x \in \left( -\frac{1}{n},2- \frac{1}{n}\right] \right)}\)
W związku z tym wnosimy, że:
\(\displaystyle{ \left(-\frac{1}{3},2- \frac{1}{3}\right]}\)
(intuicyjnie możemy powiedzieć, że A_{3} jest 'największym' przedziałem z danego ciągu - ma największy lewy koniec i najmniejszy prawy koniec)
co należałoby formalnie udowodnić, pokazując, że:
(1) Jeżeli\(\displaystyle{ x \in \bigcup_{n = 2}^{8} \left(-\frac{1}{n}, 2 - \frac{1}{n}\right]}\) (czyli jeżeli \(\displaystyle{ x}\) należy do każdego z przedziałów
\(\displaystyle{ \left(-\frac{1}{n}, 2 - \frac{1}{n}\right]}\) dla\(\displaystyle{ 8 \geqslant n \geqslant 3)}\), to również \(\displaystyle{ x\in \left(-\frac{1}{3}, 2- \frac{1}{3}\right]}\)
I na odwrót:
(2) Jeżeli\(\displaystyle{ x\in \left(-\frac{1}{3}, 2- \frac{1}{3}\right]}\), to także \(\displaystyle{ x \in \bigcup_{n = 2}^{8} \left(-\frac{1}{n}, 2 - \frac{1}{n}\right]}\)
Dowód tych faktów jest już prosty, gdyż dla każdego\(\displaystyle{ n \geqslant 3}\) jest:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{3}\leqslant -\frac{1}{n}\leqslant 2-\frac{1}{3} \leqslant 2 - \frac{1}{n}}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Opis zbiorów i badanie prawdziwości twierdzeń

Post autor: max » 28 sie 2007, o 17:42

Nadal nie jest dobrze - ten minus zmienia postać rzeczy, np w ciągu \(\displaystyle{ (A_{n})}\) nie ma przedziału, który byłby zawarty we wszystkich pozostałych, lub zawierającego wszystkie pozostałe przedziały ciągu.

Zarys rozwiązań:
a)
\(\displaystyle{ x \bigcap_{n = 4}^{\infty} A_{n} \iff x \bigcap_{n = 4}^{\infty} ft(-\frac{1}{n}, 2 - \frac{1}{n}\right]\iff\\ \iff \forall n\in\mathbb{N}\left(n qslant 4 x\in ft(-\frac{1}{n}, 2 - \frac{1}{n}\right]\right)}\)
i teraz korzystając z nierówności dla \(\displaystyle{ n qslant 4}\):
\(\displaystyle{ -\frac{1}{n}\leqslant 0 < 2 - \frac{1}{4} qslant 2-\frac{1}{n}}\)
można wykazać, że:
\(\displaystyle{ \bigcap_{n = 4}^{\infty} A_{n} = ft[0, \frac{7}{4}\right]}\)
b) Opierając się na nierówności dla \(\displaystyle{ n qslant 1}\)
\(\displaystyle{ -1 qslant -\frac{1}{n} < 2-\frac{1}{n} < 2}\)
oraz na granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } ft(2 - \frac{1}{n}\right) = 2}\)
możemy udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \bigcap_{n = 1}^{\infty} A_{n} = (-1, 2)}\)
i podobnie w c) otrzymamy zbiór \(\displaystyle{ \left(-\frac{1}{6}, \frac{3}{2}\right]}\) a w d) \(\displaystyle{ \left(-\frac{1}{3}, \frac{15}{8}\right]}\)

ODPOWIEDZ