Matematyka.pl

W trapezie \(\displaystyle{ ABCD}\) o podstawach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) dwusieczna kata ostrego o wierzcholku \(\displaystyle{ B}\) jest prostopadła do ramienia \(\displaystyle{ AD}\) i dzieli je w stosunku \(\displaystyle{ 3:2}\), licząc od wierzchołka \(\displaystyle{ A}\). Oblicz stosunek pól figur na które ta dwusieczna dzieli trapez \(\displaystyle{ ABCD}\). Bardzo prosze o pomoc. Sam siedze z tym zadaniem bardzo długo i nie wiem jak rozwiązać.

Przedłuż ramiona trapezu. Narysuj odcinek równoległy do podstawy z punktu podziału ramienia. Skorzystaj z twierdzenia Talesa.

Niech punkt przecięcie dwusiecznej z ramieniem \(\displaystyle{ AD}\) nazywa się \(\displaystyle{ E}\) a punkt przecięcia przedłużonych ramion trapezu nazywa się \(\displaystyle{ S}\)
Skoro dwusieczna jest prostopadła do boku \(\displaystyle{ AS}\) to znaczy ze jest wysokością trójkąta \(\displaystyle{ ABS}\) czyli trójkąt ABS jest równoramienny. Niech \(\displaystyle{ AE=3x}\),\(\displaystyle{ ED=2x}\) to odcinek \(\displaystyle{ DS=x}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{CD}= \frac{6x}{AB}}\)

\(\displaystyle{ CD= \frac{1}{6} AB=k}\)-skala podobieństwa trójkątów\(\displaystyle{ CDS}\) i \(\displaystyle{ ABS}\)

stąd \(\displaystyle{ P_{CDS}= \frac{1}{36}P_{ABS}= \frac{1}{18} P_{ABE}}\)

\(\displaystyle{ \frac{P_{BCDE}}{P_{ABE}}= \frac{17}{18}}\)

Bardzo dziękuje za pomoc.
Pozdrawiam.