[MIX] Inne zadania przeróżne
: 23 mar 2016, o 00:28
1. Ile maksymalnie hetmanów może być na szachownicy \(\displaystyle{ 8 \times 8}\) tak, aby każdy z nich był bity przez co najwyżej jednego z innych ?
Uogólnić dla planszy \(\displaystyle{ n \times n}\)
2. Dla jakich liczb całkowitych \(\displaystyle{ a, b, c}\) wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x(x-a)(x-b)(x-c) + 1}\) jest rozkładalny w \(\displaystyle{ Z[x]}\) ?
3. Rozwiązać równanie diofantyczne \(\displaystyle{ \sqrt[3]{a+ \sqrt{b}} + \sqrt[3]{a- \sqrt{b}} =1}\)
4. Dane są trzy okręgi oraz trójkąt. Skonstruować trójkąt przystający do danego i taki, że każdy jego wierzchołek jest na innym z tych okręgów. (o ile taka konstrukcja jest możliwą)
5. Udowodnić, ze jeśli \(\displaystyle{ z}\) sa liczbami zespolonymi to \(\displaystyle{ 2 |z| |w| |z-w| \geq (|w|+ |z|)(| w|z| - z|w| |)}\)
6. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{1}{xy} = \frac{x}{z} +1 \\ \frac{1}{yz} = \frac{y}{x} +1 \\ \frac{1}{zx} = \frac{z}{y} +1 \end{cases}}\)
7. Wyznaczyć minimum wyrażenia \(\displaystyle{ |12^m - 5^n|}\) gdy \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są liczbami naturalnymi
8. Rozwiązać równanie diofantyczne \(\displaystyle{ 5x^2 - 6xy +7y^2 =383}\)
9. Jaka jest objętość bryły po obrocie sześcianu dookoła jego przekątnej ?
10. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a, b, c > 0}\) to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} + \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+ac+bc} \geq \frac{a}{b+c}+ \frac{b}{a+c}+ \frac{c}{a+b} \geq 2 - \frac{ab+ac+bc}{2(a^2+b^2+c^2)}}\)
11. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia nieparzystą ilość razy szóstki przy \(\displaystyle{ n}\) rzutach kostką ?
12. W trójkącie ostrokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) punkty \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\) są rzutami prostokątnymi \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) na proste \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ AC}\). Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są rzutami prostokątnymi \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) na prostą \(\displaystyle{ DE}\). Udowodnić że \(\displaystyle{ PE = DQ}\)
13. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}(x+y)^3 = z \\ (x+z)^3 = y \\ (y+z)^3 =x \end{cases}}\)
14. Na płaszczyźnie danych jest \(\displaystyle{ 2n}\) różnych punktów: \(\displaystyle{ n}\) białych i \(\displaystyle{ n}\) czarnych i żadne trzy z nich nie są współliniowe. Udowodnić że można narysować \(\displaystyle{ n}\) odcinków o końcach w tych punktach, tak by końce były różnokolorowe i aby odcinki te nie przecinały się
15. Niech \(\displaystyle{ f(n)}\) jest liczbą w której pierwszą cyfrę przesunięto jako ostatnią (np. \(\displaystyle{ f(8137)= 1378}\)). Wyznaczyć \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ f(n) = \frac{7}{2}n}\) ?
16. Rozwiązać równanie funkcyjne
\(\displaystyle{ ax^2 f(\frac{1}{x}) + f(x) = \frac{x}{x+1}}\)
gdy \(\displaystyle{ f: (0, +\infty) \mapsto (0, +\infty)}\) a \(\displaystyle{ a>0}\) jest dane
17. Udowodnić nierówność dla liczb dodatnich:
\(\displaystyle{ \frac{(a-b)(a-c)}{a+b+c} + \frac{(b-c)(b-d)}{b+c+d} + \frac{(c-d)(c-a)}{c+d+a} + \frac{(d-a)(d-b)}{d+a+b} \geq 0}\)
Kiedy zachodzi w niej równość ?
18. Jaka jest reszta z dzielenia \(\displaystyle{ 3^{2^n}-1}\) przez \(\displaystyle{ 2^{n+3}}\) ?
19. Rozwiązać równanie różniczkowe \(\displaystyle{ xy(y^{\prime})^2 - (x^2+y^2) y^{\prime}+xy =0}\)
20. Dla jakich liczb całkowitych \(\displaystyle{ a, \ b}\) wyrażenie \(\displaystyle{ x^3 + xy^2 + y^3+3x^2 +2xy +4y^2 +ax+by +3}\) jest rozkładalne nad \(\displaystyle{ C}\) ?
Crux M., Problem 2046
21. Niech \(\displaystyle{ f(x, y, z)= x^4 + x^3z + ax^2z^2 +bx^2y +cxyz+ y^2}\). Udowodnić, że dla dowolnych \(\displaystyle{ b, \ c}\) gdzie \(\displaystyle{ |b| > 2}\) istnieje \(\displaystyle{ a >0}\) że \(\displaystyle{ f}\) jest iloczynem wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 2}\) o współczynnikach rzeczywistych.
Crux M., Problem 1684
22. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}xy+zx+yz = 12\\ xyz= 2+ x+y+z \end{cases}}\)
23. Udowodnić, że w dowolnym postępie arytmetycznym liczb naturalnych, istnieją dwa wyrazy o tej samej sumie cyfr
24. Udowodnić że jeśli liczby naturalne \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są względnie pierwsze to \(\displaystyle{ (a^2+b^2, a^3+b^3)}\) dzieli \(\displaystyle{ a-b}\)
Uwagi: \(\displaystyle{ (a, b)}\) to największy wspólny dzielnik liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)
25. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}x+ay+ a^2z+ a^3w = a^4 \\ x+by+ b^2z+ b^3w = b^4 \\x+cy+c^2z+ c^3w = c^4 \\ x+dy+ d^2z+ d^3w = d^4 \end{cases}}\)
gdy \(\displaystyle{ a, \ b, \ c, \ d}\) są dane
26. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą nieparzystą to \(\displaystyle{ \sin(\frac{\pi}{2k}) \sin(\frac{3\pi}{2k}) ... \sin(\frac{k\pi}{2k}) = \frac{1}{\sqrt{2}^{k-1}}}\)
27. Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} (1- \cos(\frac{1}{n}))^{\sqrt{n}}}\)
28. Dane są wektory jednostkowe \(\displaystyle{ w_1, ..., w_n}\) oraz liczby nieujemne \(\displaystyle{ a_1, .., a_n}\) których suma jest równa 1. Udowodnić, że istnieje prosta o tej właściwości że długość rzutu wektora \(\displaystyle{ w_j}\) na tę prostą jest nie mniejsza od \(\displaystyle{ a_j}\) dla \(\displaystyle{ j= 1, ..., n}\)
29. Punkt \(\displaystyle{ X}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) a punkt \(\displaystyle{ Y}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ AC}\).
Udowodnić, że jeśli kąt \(\displaystyle{ AXY}\) jest prosty to \(\displaystyle{ 3AB= AC+ BC}\)
30. Niech \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) będą liczbami całkowitymi. Wyznaczyć wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}\)
Uogólnić dla planszy \(\displaystyle{ n \times n}\)
2. Dla jakich liczb całkowitych \(\displaystyle{ a, b, c}\) wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x(x-a)(x-b)(x-c) + 1}\) jest rozkładalny w \(\displaystyle{ Z[x]}\) ?
3. Rozwiązać równanie diofantyczne \(\displaystyle{ \sqrt[3]{a+ \sqrt{b}} + \sqrt[3]{a- \sqrt{b}} =1}\)
4. Dane są trzy okręgi oraz trójkąt. Skonstruować trójkąt przystający do danego i taki, że każdy jego wierzchołek jest na innym z tych okręgów. (o ile taka konstrukcja jest możliwą)
5. Udowodnić, ze jeśli \(\displaystyle{ z}\) sa liczbami zespolonymi to \(\displaystyle{ 2 |z| |w| |z-w| \geq (|w|+ |z|)(| w|z| - z|w| |)}\)
6. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{1}{xy} = \frac{x}{z} +1 \\ \frac{1}{yz} = \frac{y}{x} +1 \\ \frac{1}{zx} = \frac{z}{y} +1 \end{cases}}\)
7. Wyznaczyć minimum wyrażenia \(\displaystyle{ |12^m - 5^n|}\) gdy \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są liczbami naturalnymi
8. Rozwiązać równanie diofantyczne \(\displaystyle{ 5x^2 - 6xy +7y^2 =383}\)
9. Jaka jest objętość bryły po obrocie sześcianu dookoła jego przekątnej ?
10. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a, b, c > 0}\) to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} + \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+ac+bc} \geq \frac{a}{b+c}+ \frac{b}{a+c}+ \frac{c}{a+b} \geq 2 - \frac{ab+ac+bc}{2(a^2+b^2+c^2)}}\)
11. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia nieparzystą ilość razy szóstki przy \(\displaystyle{ n}\) rzutach kostką ?
12. W trójkącie ostrokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) punkty \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\) są rzutami prostokątnymi \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) na proste \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ AC}\). Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są rzutami prostokątnymi \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) na prostą \(\displaystyle{ DE}\). Udowodnić że \(\displaystyle{ PE = DQ}\)
13. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}(x+y)^3 = z \\ (x+z)^3 = y \\ (y+z)^3 =x \end{cases}}\)
14. Na płaszczyźnie danych jest \(\displaystyle{ 2n}\) różnych punktów: \(\displaystyle{ n}\) białych i \(\displaystyle{ n}\) czarnych i żadne trzy z nich nie są współliniowe. Udowodnić że można narysować \(\displaystyle{ n}\) odcinków o końcach w tych punktach, tak by końce były różnokolorowe i aby odcinki te nie przecinały się
15. Niech \(\displaystyle{ f(n)}\) jest liczbą w której pierwszą cyfrę przesunięto jako ostatnią (np. \(\displaystyle{ f(8137)= 1378}\)). Wyznaczyć \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ f(n) = \frac{7}{2}n}\) ?
16. Rozwiązać równanie funkcyjne
\(\displaystyle{ ax^2 f(\frac{1}{x}) + f(x) = \frac{x}{x+1}}\)
gdy \(\displaystyle{ f: (0, +\infty) \mapsto (0, +\infty)}\) a \(\displaystyle{ a>0}\) jest dane
17. Udowodnić nierówność dla liczb dodatnich:
\(\displaystyle{ \frac{(a-b)(a-c)}{a+b+c} + \frac{(b-c)(b-d)}{b+c+d} + \frac{(c-d)(c-a)}{c+d+a} + \frac{(d-a)(d-b)}{d+a+b} \geq 0}\)
Kiedy zachodzi w niej równość ?
18. Jaka jest reszta z dzielenia \(\displaystyle{ 3^{2^n}-1}\) przez \(\displaystyle{ 2^{n+3}}\) ?
19. Rozwiązać równanie różniczkowe \(\displaystyle{ xy(y^{\prime})^2 - (x^2+y^2) y^{\prime}+xy =0}\)
20. Dla jakich liczb całkowitych \(\displaystyle{ a, \ b}\) wyrażenie \(\displaystyle{ x^3 + xy^2 + y^3+3x^2 +2xy +4y^2 +ax+by +3}\) jest rozkładalne nad \(\displaystyle{ C}\) ?
Crux M., Problem 2046
21. Niech \(\displaystyle{ f(x, y, z)= x^4 + x^3z + ax^2z^2 +bx^2y +cxyz+ y^2}\). Udowodnić, że dla dowolnych \(\displaystyle{ b, \ c}\) gdzie \(\displaystyle{ |b| > 2}\) istnieje \(\displaystyle{ a >0}\) że \(\displaystyle{ f}\) jest iloczynem wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 2}\) o współczynnikach rzeczywistych.
Crux M., Problem 1684
22. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}xy+zx+yz = 12\\ xyz= 2+ x+y+z \end{cases}}\)
23. Udowodnić, że w dowolnym postępie arytmetycznym liczb naturalnych, istnieją dwa wyrazy o tej samej sumie cyfr
24. Udowodnić że jeśli liczby naturalne \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są względnie pierwsze to \(\displaystyle{ (a^2+b^2, a^3+b^3)}\) dzieli \(\displaystyle{ a-b}\)
Uwagi: \(\displaystyle{ (a, b)}\) to największy wspólny dzielnik liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)
25. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}x+ay+ a^2z+ a^3w = a^4 \\ x+by+ b^2z+ b^3w = b^4 \\x+cy+c^2z+ c^3w = c^4 \\ x+dy+ d^2z+ d^3w = d^4 \end{cases}}\)
gdy \(\displaystyle{ a, \ b, \ c, \ d}\) są dane
26. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą nieparzystą to \(\displaystyle{ \sin(\frac{\pi}{2k}) \sin(\frac{3\pi}{2k}) ... \sin(\frac{k\pi}{2k}) = \frac{1}{\sqrt{2}^{k-1}}}\)
27. Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} (1- \cos(\frac{1}{n}))^{\sqrt{n}}}\)
28. Dane są wektory jednostkowe \(\displaystyle{ w_1, ..., w_n}\) oraz liczby nieujemne \(\displaystyle{ a_1, .., a_n}\) których suma jest równa 1. Udowodnić, że istnieje prosta o tej właściwości że długość rzutu wektora \(\displaystyle{ w_j}\) na tę prostą jest nie mniejsza od \(\displaystyle{ a_j}\) dla \(\displaystyle{ j= 1, ..., n}\)
29. Punkt \(\displaystyle{ X}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) a punkt \(\displaystyle{ Y}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ AC}\).
Udowodnić, że jeśli kąt \(\displaystyle{ AXY}\) jest prosty to \(\displaystyle{ 3AB= AC+ BC}\)
30. Niech \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) będą liczbami całkowitymi. Wyznaczyć wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}\)