Matematyka.pl

Sprawdzić czy jest to metryka:

\(\displaystyle{ d(x,y):=\begin{cases} log(|x-z| +2) \hbox { dla } x y\\0 \hbox { dla } x = y \end{cases} x, y R}\)


Jeśli tak, wyznaczyć kulę K(1,1)

Proszę o pomoc

1. \(\displaystyle{ d(x,y) = 0 x=y}\) - chyba oczywiste
2. \(\displaystyle{ d(x,y) = d(y,x)}\) -chyba też
2. \(\displaystyle{ d(x,y) + d(y,z) d(x,z)}\) - to musimy wykazać, czyli inaczej mówiąc że:
\(\displaystyle{ log(|x-y|+2) + log(|y-z|+2) log(|x-z|+2) \\
(|x-y|+2)(|y-z|+2) (|x-z|+2) \\
|x-y| |y-z| + 2 (|x-y| + |y-z|) + 2 |x-z| \\}\)
Ostatnia nierówność jest oczywista (bo moduł jest metryką) jest więc ok.
Teraz kula:
\(\displaystyle{ K(1,1) = \{ (x,y) \mathbb{R} : x=1, \ d(x,y) < 1 \}}\)
Mamy nierówność:
\(\displaystyle{ log(|1-y|+2) < 1 \\
|1-y|+2 < e \\}\)
Stąd \(\displaystyle{ y (3-e,e-1)}\).

a log1 to nie jest 0 czasem???

[ Dodano: 27 Sierpnia 2007, 15:05 ]
prosilbym jeszcze o rysunek...

moduł jest zawsze nieujemny, więc wartość metryki będzie zawsze 0 lub większa od log(2).