Matematyka.pl

Witam.
Mam pewne pytanie odnośnie przestrzeni banacha. Czy podprzestrzen przestrzeni Banacha np generowana przez jakies wektory \(\displaystyle{ \left\langle e_{1},.., e_{n} \right\rangle}\) jest nigdziegęsta ?

W przestrzeni skończenie wymiarowej może się zdarzyć, że te wektory wygenerują całą przestrzeń.

Każda właściwa domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni unormowanej jest nigdziegęsta. Każda podprzestrzeń skończenie wymiarowa jest automatycznie domknięta.

By wykazać pierwsze stwierdzenie załóżmy, że \(\displaystyle{ V\subset X}\) jest właściwą domkniętą podprzestrzenią liniową i niech \(\displaystyle{ x\in X\setminus V}\). Załóżmy, że w \(\displaystyle{ V}\) istnieje kula otwarta \(\displaystyle{ B=B(y,r)}\) w \(\displaystyle{ X}\). Ponieważ odwzorowanie \(\displaystyle{ w\mapsto w-y}\) jest autohomeomorfizmem przestrzeni \(\displaystyle{ X}\), więc kula \(\displaystyle{ B(0,r)}\) jest zawarta w \(\displaystyle{ V}\). Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie tak duże by \(\displaystyle{ rn > \|x\|}\). Wówczas \(\displaystyle{ x\in B(0, rn)\subset V}\); sprzeczność.