Matematyka.pl

Trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) oraz \(\displaystyle{ A_1B_1C_1}\) są przystające. Wewnątrz trójkątów \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ A_1B_1C_1}\) znajdują się odpowiednio punkty \(\displaystyle{ P,P_1}\) takie, że

\(\displaystyle{ \angle APB=\angle A_1P_1B_1,\angle BPC=\angle B_1P_1C_1,\angle APC=\angle A_1P_1C_1}\).

Udowodnić, że

\(\displaystyle{ \triangle APB\equiv \triangle A_1P_1B_1, \triangle BPC\equiv \triangle B_1P_1C_1,\triangle APC\equiv \triangle A_1P_1C_1}\).

Należy wykazać, że jeżeli wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) wybrano takie punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ P_1}\), że \(\displaystyle{ \angle APB=\angle AP_1B,\angle BPC=\angle BP_1C,\angle APC=\angle AP_1C}\), to \(\displaystyle{ P=P_1}\).

Jeśli \(\displaystyle{ \angle APB=\angle AP_1B}\) to punkty \(\displaystyle{ ABPP_1}\) leżą na jednym okręgu \(\displaystyle{ o_1}\), podobnie punkty \(\displaystyle{ BCPP_1}\) leżą na jednym okręgu \(\displaystyle{ o_2}\). Z drugiej strony okręgi \(\displaystyle{ o_1}\) i \(\displaystyle{ o_2}\) mają 2 punkty wspólne, a jednym z nich jest \(\displaystyle{ B}\) czyli wierzchołek trójkąta, w takim razie istnieje jeden punkt leżący wewnątrz trójkąta ABC dla którego \(\displaystyle{ \angle APB=\angle AP_1B}\) oraz \(\displaystyle{ \angle BPC=\angle BP_1C}\), czyli \(\displaystyle{ P=P_1}\). Warunek \(\displaystyle{ \angle APC=\angle AP_1C}\) nie jest tu konieczny.

mint18 pisze:Jeśli \(\displaystyle{ \angle APB=\angle AP_1B}\) to punkty \(\displaystyle{ ABPP_1}\) leżą na jednym okręgu \(\displaystyle{ o_1}\),

Korzystamy tu jeszcze z tego, że punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ P_1}\) leżą po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ AB.}\)