Zbieżność według rozkładu
: 20 mar 2016, o 10:13
Niech \(\displaystyle{ (W_t)_{t \ge 0}}\) proces Wienera. Jak pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{t} } \log \left[ \int_{0}^{t}\exp(W_s) ds \right]}\) zbiega według rozkładu \(\displaystyle{ t \rightarrow \infty}\) do zmiennej losowej \(\displaystyle{ W_1^*=sup_{0 \le s \le 1}W_s}\) ?
Mam też wskazówkę:
1) jeśli f nieujemna funkcja ciągła na \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) to \(\displaystyle{ \lim_{p \to \infty } \left[ \int_{0}^{1}f(u)^p du \right]^{ \frac{1}{p} }=sup_{\left[ 0,1\right] }f}\)
2) \(\displaystyle{ (u^{- \frac{1}{2}}W_{tu})_{t \ge 0}}\) proces Wienera
Mam też wskazówkę:
1) jeśli f nieujemna funkcja ciągła na \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) to \(\displaystyle{ \lim_{p \to \infty } \left[ \int_{0}^{1}f(u)^p du \right]^{ \frac{1}{p} }=sup_{\left[ 0,1\right] }f}\)
2) \(\displaystyle{ (u^{- \frac{1}{2}}W_{tu})_{t \ge 0}}\) proces Wienera