zbieznosc szeregu liczbowego

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

zbieznosc szeregu liczbowego

Post autor: robin5hood » 27 sie 2007, o 12:15

ZAD
Zbadać zbieżność szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(n^2+n+3)^{\frac{1}{2}(n+1)}}tg\frac{1}{\sqrt{n}}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Kostek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 115
Rejestracja: 12 lis 2005, o 19:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sidzina/Kraków
Pomógł: 21 razy

zbieznosc szeregu liczbowego

Post autor: Kostek » 27 sie 2007, o 15:24

Kryterium ilorazowe z szeregiem harmonicznym rzedu \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) i granica wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{e}}\) wiec nasz szereg jest zbiezny

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

zbieznosc szeregu liczbowego

Post autor: robin5hood » 27 sie 2007, o 16:36

Mozesz to bardziej rozpisac

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

zbieznosc szeregu liczbowego

Post autor: max » 27 sie 2007, o 16:59

Myślę, że nie ma powodów by sobie nadmiernie rachunki utrudniać, więc możemy skorzystać z oczywistej nierówności:
\(\displaystyle{ (*) \quad \frac{n^{n}}{(n^{2} + n + 3)^{\frac{1}{2}(n + 1)}} < \frac{n^{n}}{(n^{2})^{\frac{1}{2}(n + 1)}} = \frac{n^{n}}{n^{n + 1}} = \frac{1}{n}}\)
i teraz możemy poddać szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}\tan \frac{1}{\sqrt{n}}}\)
rozlicznym narzędziom , ale na nasz skromny użytek może to być wspomniane wyżej kryterium ilorazowe w postaci granicznej ze zbieżnym szeregiem: \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{n}}}\), czyli liczymy granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\frac{\frac{1}{n}\cdot \tan\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{n\sqrt{n}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\tan \frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}} = 1}\)
wyszła nam granica skończona dodatnia, więc szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}\tan \frac{1}{\sqrt{n}}}\)
jest zbieżny, a na mocy nierówności \(\displaystyle{ (*)}\) oraz kryterium porównawczego nasz szereg jest zbieżny.

Awatar użytkownika
Kostek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 115
Rejestracja: 12 lis 2005, o 19:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sidzina/Kraków
Pomógł: 21 razy

zbieznosc szeregu liczbowego

Post autor: Kostek » 27 sie 2007, o 17:08

Zakladam ze znasz kryterium ilorazowe. Wszystko sprowadza sie do policzenia granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^{n}}{(n^{2}+n+3)^{\frac{n+1}{2}}}tg\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}}=\lim_{n\to\infty}(\frac{n^{2}}{n^{2}+n+3})^{\frac{n+1}{2}} \frac{tg\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}}=\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{n^{2}}{n+3}}})^{\frac{n^{2}}{n+3}\frac{n+3}{n^{2}}\frac{n+1}{2}}} \frac{tg\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}}=\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}*1}\)

Troche kosmiczne te rachunki

ODPOWIEDZ