nierównosc wykazac

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

nierównosc wykazac

Post autor: robin5hood » 27 sie 2007, o 11:50

zad
Wykazac, że
\(\displaystyle{ |sin(x+h)-sinx-hcosx|\leqslant \frac{1}{2}h^2}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Grzegorz t
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
Pomógł: 206 razy

nierównosc wykazac

Post autor: Grzegorz t » 30 sie 2007, o 10:20

niech \(\displaystyle{ f(x)=sinx+hcosx}\) wtedy możemy ją przekształcić do postaci \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{h^2+1}\sin(x+h)}\) (proszę spróbować) zatem funkcja przyjmuje postać
\(\displaystyle{ \mid\sin(x+h)-\sqrt{h^2+1}\sin(x+h)\mid\leq\frac{1}{2}h^2}\)
\(\displaystyle{ \mid sin(x+h)\mid\cdot \mid1-\sqrt{h^2+1}\mid\leq\frac{1}{2}h^2}\) i wyrażenie po lewej stronie przyjmuje wartość największą, gdy \(\displaystyle{ \mid1-\sqrt{h^2+1}\mid\leq\frac{1}{2}h^2}\) i teraz sporządzając wykresy funkcji występujących po obu stronach tej nierówności łatwo zauważyć, że nierówność jest spełniona. Można też wykazać prawdziwość tej nierówności algebraicznie.
W zadaniu korzystano z faktu, iż \(\displaystyle{ \sin(x+h)\leq1}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

nierównosc wykazac

Post autor: max » 1 wrz 2007, o 15:59

Grzegorz t pisze:niech \(\displaystyle{ f(x)=sinx+hcosx}\) wtedy możemy ją przekształcić do postaci \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{h^2+1}\sin(x+h)}\)
Tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \tan h = h}\)...

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

nierównosc wykazac

Post autor: robin5hood » 4 wrz 2007, o 06:02

Czyli co grzgorzt zle to rozwiązał?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

nierównosc wykazac

Post autor: max » 4 wrz 2007, o 12:20

Powyższy dowód dotyczy tylko takich \(\displaystyle{ h}\), że \(\displaystyle{ \tan h = h}\).

Awatar użytkownika
DEXiu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1174
Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jaworzno
Pomógł: 69 razy

nierównosc wykazac

Post autor: DEXiu » 4 wrz 2007, o 23:03

Tłumacząc wypowiedź maxa na nasze: nie znaczy to, że źle rozwiązał, tylko że rozwiązanie jest niepełne (a co za tym idzie - prawie że go nie ma )

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6933
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2618 razy
Pomógł: 687 razy

nierównosc wykazac

Post autor: mol_ksiazkowy » 5 wrz 2007, o 02:11

Być moze tak by poszło ...\(\displaystyle{ w=|sin(x+h)-sinx-hcosx|}\). Pod modułem stoi iloczyn skalarny wektorów \(\displaystyle{ u=[sin(x), cos(x)], \ v=[cos(h)-1, sin(h)-h]}\), ten pierwszy na szczescie unormowany, ale...ten drugi to ho ho...! Z nier. Schwartza wystraczyło by pokazać, ze ..o ile sie nie pomylilem w rachunku, bedzie tak jak stoi niżej -i to mozliwe jest wykonalne!??...kto wie...
\(\displaystyle{ \sqrt{2(1-cos(h))-2h sin(h) +h^2)} q \frac{1}{2} h^2}\)

Grzegorz t
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
Pomógł: 206 razy

nierównosc wykazac

Post autor: Grzegorz t » 5 wrz 2007, o 11:38

należałoby rozpatrzyć jeszcze jeden przeypadek (bo są dwa, a tylko jeden podałem),
wtedy mamy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=-\sqrt{h^2+1}sin(x+h)}\), ale w ty przypadku nierówność z zadania nie jest spełniona

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

nierównosc wykazac

Post autor: max » 5 wrz 2007, o 13:23

Udowodnij proszę te tożsamości i wykaż, że wyczerpują one wszystkie przypadki, bo ja twierdzę, że się mylisz.

Grzegorz t
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
Pomógł: 206 razy

nierównosc wykazac

Post autor: Grzegorz t » 5 wrz 2007, o 13:47

\(\displaystyle{ sinx+hcosx=asin(x+\alpha)=asinxcos\alpha+acosxsin\alpha}\)
stąd \(\displaystyle{ acos\alpha=1, asin\alpha=h}\) po podniesieniu do kwadratu obustronnie
\(\displaystyle{ a^2cos^2\alpha=1, a^2sin^2\alpha=h^2}\) stąd z jedynki trygonometrycznej
\(\displaystyle{ a^2=1+h^2}\) i \(\displaystyle{ a=\sqrt{h^2+1}, a=-\sqrt{h^2+1}}\) i trzeba dać założenia, że \(\displaystyle{ alphain[0,frac{pi}{2})}\) i \(\displaystyle{ tg\alpha=h}\) przepraszam za zamieszanie
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2007, o 14:06 przez Grzegorz t, łącznie zmieniany 6 razy.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6933
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2618 razy
Pomógł: 687 razy

nierównosc wykazac

Post autor: mol_ksiazkowy » 5 wrz 2007, o 13:48

hmm no przy tych oznacz na pewno coś nie gra...
bo np f(0)=h..., a nie
\(\displaystyle{ \sqrt{h^2+1}sin(h)}\) etc

palazi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 175
Rejestracja: 6 wrz 2006, o 21:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łapy/Białystok
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 37 razy

nierównosc wykazac

Post autor: palazi » 5 wrz 2007, o 14:09

Yhm, albo się pomyliłem albo wg. mnie ta nierównośc do udowodnienia nie jest zawsze prawdziwa, otóż:
\(\displaystyle{ sin(x) + h cos(x) = \sqrt{ 1 + h^2} ( sin(x) \frac{1}{\sqrt{1+h^2}} + \frac{h}{\sqrt{1+h^2}} cos(x) )}\)
Teraz podstawiając \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1+h^2}} = cos(\beta)}\) dostajemy \(\displaystyle{ \frac{h}{\sqrt{1+h^2}} = sin(\beta)}\)
Wiec ostatecznie:
\(\displaystyle{ sin(x) + h cos(x) = \sqrt{ 1 + h^2} sin(x + \beta)}\)
Czyli całość:
\(\displaystyle{ sin(x+h) - (sin(x) + h cos(x) ) = sin(x+h) - (\sqrt{ 1 + h^2} sin(x + \beta) )}\)
No i teraz założmy, że \(\displaystyle{ h}\) jest stałą, i teraz dobierzmy sobie takie \(\displaystyle{ x}\) że \(\displaystyle{ x+h = \frac{\pi}{2}}\) Oraz takie \(\displaystyle{ \beta}\) że \(\displaystyle{ x+ \beta = \frac{3 \pi}{2}}\) Wtedy nasze wyrażenie przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ sin(x+h) - (\sqrt{ 1 + h^2} sin(x + \beta) ) = 1 + \sqrt{1 + h^2}}\)
Więc w tym szczególnym przypadku mamy do "udowodnienia" nierównośc (która tak naprawdę jest tylko prawdziwa dla niektórych \(\displaystyle{ h}\) ) że:
\(\displaystyle{ 1 + \sqrt{1 + h^2} = 8}\)
Więc moim zdaniem tutaj nie ma czego udowadniać.

Awatar użytkownika
Anathemed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 34 razy

nierównosc wykazac

Post autor: Anathemed » 5 wrz 2007, o 14:18

palazi pisze:Yhm, albo się pomyliłem
(...)
No i teraz założmy, że \(\displaystyle{ h}\) jest stałą, i teraz dobierzmy sobie takie \(\displaystyle{ x}\) że \(\displaystyle{ x+h = \frac{\pi}{2}}\) Oraz takie \(\displaystyle{ \beta}\) że \(\displaystyle{ x+ \beta = \frac{3 \pi}{2}}\)
Nie możesz sobie wybrać \(\displaystyle{ \beta}\) jako dowolne, ponieważ jeżeli h jest stałą, to beta również.

palazi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 175
Rejestracja: 6 wrz 2006, o 21:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łapy/Białystok
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 37 razy

nierównosc wykazac

Post autor: palazi » 5 wrz 2007, o 14:21

... Fucktycznie masz rację A więc tego wyżej nie było

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6933
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2618 razy
Pomógł: 687 razy

nierównosc wykazac

Post autor: mol_ksiazkowy » 5 wrz 2007, o 14:24

Anathemed napisał:
Nie możesz sobie wybrać jako dowolne, ponieważ jeżeli h jest stałą, to beta również.
\(\displaystyle{ -cos(h)=\frac{1}{\sqrt{1+h^2}}}\)

ODPOWIEDZ