punkt przegięcia

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

punkt przegięcia

Post autor: robin5hood » 27 sie 2007, o 11:04

zad
Wykazać, że punkt (0,0) jest punktem przegięcia wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^3+x^{4}sin\frac{\pi}{x}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
alia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:39
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 23 razy

punkt przegięcia

Post autor: alia » 27 sie 2007, o 18:54

może policzenie drugiej pochodnej i zbadanie granicy przy \(\displaystyle{ x\to 0}\) coś pomoże ?
Ostatnio zmieniony 29 sie 2007, o 15:33 przez alia, łącznie zmieniany 1 raz.

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

punkt przegięcia

Post autor: robin5hood » 28 sie 2007, o 09:58

nie istnieje ta granica

Awatar użytkownika
alia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:39
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 23 razy

punkt przegięcia

Post autor: alia » 29 sie 2007, o 15:33

To ciekawe wyzwanie, postaram się z nim zmierzyć.

Grzegorz t
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
Pomógł: 206 razy

punkt przegięcia

Post autor: Grzegorz t » 30 sie 2007, o 11:22

\(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty}\) i \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty}\)
f.nieparzysta i dalej \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0}f(x)=0}\), co oznacza, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) dąży do zera, ale nie ma wartości w zerze, ze względu na założenia.
po policzeniu pierwszej pochodnej (proszę policzyć) zauważamy, że \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow0^{+-}}f^\prime(x)=0}\), co oznacza, że prosta \(\displaystyle{ y=0}\) jest styczną poziomą wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) w punkcie \(\displaystyle{ (0,0).}\)
Zgodnie z zasadą, że pochodna funkcji nieparzystej jest funkcją parzystą, a pochodna funkcji parzystej jest funkcją nieparzystą wynika, że druga pochodna \(\displaystyle{ f^\prime(x)}\) jest funkcją nieparzystą i spełniony jest warunek \(\displaystyle{ f(-x)=-f(x)}\), czyli druga pochodna zmienia znak.
Zatem podsumowując istnieje w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) styczna pozioma do wykresu funkcji i druga pochodna zmienia znak po przejściiu przez punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\), co wynika z nieparzystości tej funkcji, zatem początek układu współrzędnych funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) jest punktem przegięcia wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\).

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

punkt przegięcia

Post autor: max » 2 wrz 2007, o 13:06

Grzegorz t możesz wyjaśnić co to znaczy, że funkcja w jakimś punkcie zmienia znak?

Awatar użytkownika
Lady Tilly
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3807
Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: nie wiadomo
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 712 razy

punkt przegięcia

Post autor: Lady Tilly » 2 wrz 2007, o 15:42

Funkcja ma punkt przegięcia w \(\displaystyle{ x=x_{0}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje \(\displaystyle{ r{\in}R_{+}}\) dla którego jest ona ściśle wklęsła na przedziale \(\displaystyle{ [x_{0}-r,x_{0}]}\) i ściśle wypukła na przedziale \(\displaystyle{ [x_{0},x_{0}+r]}\) lub odwrotnie - ściśle wypukła na \(\displaystyle{ [x_{0}-r,x_{0}]}\) i ściśle wklęsła na \(\displaystyle{ [x_{0},x_{0}+r]}\).

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

punkt przegięcia

Post autor: max » 2 wrz 2007, o 17:48

Jeśli przyjąć taką definicję punktu przegięcia, to nie jest ona w tym przypadku spełniona...

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

punkt przegięcia

Post autor: robin5hood » 6 wrz 2007, o 20:16

Czy Grzegorza rozwiązanie jest nieprawidłowe?

ODPOWIEDZ