Matematyka.pl

Witam,

Treść: Wykazać, że jeśli liczba zespolona \(\displaystyle{ z}\) spełnia równanie

\(\displaystyle{ z^{4} + z^{2} + 1 = 0}\)

to \(\displaystyle{ \left| z\right| = 1}\)

Nie radziłem sobie z znalezieniem prowadzącego gdzieś rozumowania, więc zajrzałem do podpowiedzi, która każe pomnożyć obie strony przez \(\displaystyle{ z^2 - 1}\) - dopiero zaczynam ten dział, więc nie mam pojęcia, skąd bierze się ta liczba, ale po przemnożeniu daje:

\(\displaystyle{ z^{6} = 1}\)

I tutaj mam "obliczyć moduł obu stron i skorzystać z własności modułu" i o ile z prawą stroną nie mam problemu, to nie wiem, jak ma wyglądać liczenie modułu \(\displaystyle{ z^6}\). Byłbym wdzięczny za dodatkowe wskazówki

Ano bierze się to ze znanej tożsamości
\(\displaystyle{ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}\)

Ile wynosi moduł \(\displaystyle{ z^6}\), skoro ta liczba jest równa \(\displaystyle{ 1}\)?
Moduł \(\displaystyle{ z}\) wyznaczysz ze wzoru Eulera

Dzięki za odpowiedź. Wrócę do tego zadania w takim razie po przerobieniu następnych działów, które omawiają wzór Eulera.