Obraz prostej w odwzorowaniu

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Bormac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 26 sie 2007, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 12 razy

Obraz prostej w odwzorowaniu

Post autor: Bormac » 26 sie 2007, o 22:45

Znaleźć obraz prostej \(\displaystyle{ \Im z = 1}\) w odwzorowaniu \(\displaystyle{ \ f(z) = z^{2}}\). Wykonać obliczenia i rysunki.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Obraz prostej w odwzorowaniu

Post autor: max » 26 sie 2007, o 23:14

Niech \(\displaystyle{ \Im z = 1}\) czyli \(\displaystyle{ z = a + i, \ a \mathbb{R}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ f(z) = z^{2} = a^{2} + 2ai - 1}\)
i krzywą powstałą w wyniku podanego przekształcenia płaszczyzny zespolonej na siebie możemy określić równaniami parametrycznymi:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x = a^{2} - 1\\
y = 2a\end{cases}}\)

stąd:
\(\displaystyle{ x = \frac{y^{2}}{4} - 1}\)
a to już jest równanie paraboli.

ODPOWIEDZ