Matematyka.pl

Proszę o jakieś podpowiedzi, nie bardzo wiem jak ruszyć te przykłady:

1) \(\displaystyle{ \lim_{x,y \to 0} y^5 \ln (x^2+y^2)}\)

2) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 1, y \to 2} \frac{x+y-3}{x^2+y^2-5}}\)

3) \(\displaystyle{ \lim_{x,y \to -\infty } (x^2+y^2)e^{x+y}}\)

Przejdź na współrzędne biegunowe.

Dopiero teraz mam czas to znowu przeliczyć i szczerze mówiąc nie bardzo wiem, jak zrobić podstawienie na współrzędne biegunowe w drugim przykładzie.
Mógłbyś pokazać?

W przykładzie drugim współrzędne biegunowe to nie jest chyba najlepszy pomysł (natomiast w pierwszym i trzecim jak najbardziej pasuje). Można tak:
przypuszczam, że ta granica nie istnieje. Weźmy \(\displaystyle{ (x_{n},y_{n})=\left( 1+\frac 1 n, 2\right)}\).
Wtedy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{x_{n}+y_{n}-3}{x_{n}^2+y_{n}^2-5}= \lim_{n \to \infty } \frac{ \frac{1}{n} }{ \frac{2}{n}+ \frac{1}{n^{2}} } =\frac 1 2}\)
A teraz weźmy \(\displaystyle{ (x_{n},y_{n})=\left( 1,2+\frac 1 n\right)}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{x_{n}+y_{n}-3}{x_{n}^2+y_{n}^2-5}= \lim_{n \to \infty } \frac{ \frac{1}{n} }{ \frac{4}{n}+ \frac{1}{n^{2}} } = \frac{1}{4}}\)
To dowodzi, że rozważana granica nie istnieje.

-- 18 mar 2016, o 13:25 --

A skąd przypuszczenie, że granica nie istnieje? W związku z tym, że \(\displaystyle{ x \rightarrow 1}\) oraz \(\displaystyle{ y \rightarrow 2}\) (co nie jest równe jedynce), a ta funkcja jest symetryczna ze względu na \(\displaystyle{ (x,y)}\), tj. \(\displaystyle{ f(x,y)=f(y,x)}\), to istnienie granicy wydaje się być wątpliwe, no ale to trzeba udowodnić i pokazałem, jak to zrobić:
korzystamy z definicji Heinego granicy funkcji - pokazujemy nieistnienie granicy, wskazując dwa ciągi punktów z płaszczyzny, zbieżne do \(\displaystyle{ (1,2)}\), dla których otrzymujemy różne granice.

-- 18 mar 2016, o 13:29 --

Chociaż w trzecim szybciej będzie tak: z dołu możemy oszacować wartości funkcji przez zero, a ponadto jest \(\displaystyle{ (x^{2}+y^{2})e^{x+y} \le (x+y)^{2}e^{x+y}}\)
dla \(\displaystyle{ x,y}\) będących liczbami tego samego znaku, no i zostaje
\(\displaystyle{ \lim_{t \to -\infty}t^{2}e^{t}}\)