Badanie zbieznosci ciagow i szeregow funkcyjnych
: 13 mar 2016, o 23:37
Cześć,
mam kilka wątpliwości odnosnie liczenia zbieznosci punktowej i jednostajnej ciagow funkcji i szeregow.
Dla ciagow funkcyjnych:
Jezeli chce obliczyc zbieznosc punktowa na zadanym przedziale to po prostu licze granice: \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} f_{n}(x) = g(x)}\).
Traktuje x jako dowolna stała z zadanego przedzialu, który badamy. Jezeli wyjdzie granica właściwa to znaczy ze jest tam zbiezny punktowo. Wynik tej granicy moze byc jakas funkcja x, bedzie to nasza funkcja do ktorej zbiega ciag funkcyjny.
Potem badam na tym samym przedziale zbieznosc jednostajna, sprawdzam czy: \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} sup| f_{n}(x) - g(x)| = 0}\)
Jezeli tak to jest tez zbiezny jednostajnie na tym przedziale.
A teraz badanie zbieznosci punktowej i jednostajnej szeregow funkcyjnych.
Do badania zbieznosci punktowej juz nie wystarczy zbadanie samej granicy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} f_{n}(x) = g(x)}\) dla dowolnego x z przedzialu. Jest to warunek konieczny, zbieznosci punktowej, moze nam pomoc, jezeli wyjdzie granica niewlasciwa, jesli nie to nic nam to nadal nie mowi.
Tutaj mam problem jak udowadniac zbieznosc punktowa takich szeregow, liczyc je jak zwykle szeregi ciagow liczbowych z kryteriow Cauchyego, porownawczego itp. traktujac x jako stala?
Do badania zbieznosci jednostajnej korzystam z kryterium Weierstrassa szukamy ciągu liczbowego ograniczajacego nasz ciag funkcyjny i badamy jego zbieznosc.
Bylbym wdzięczny za wskazanie ewentualnych luk i bledow mojego rozumowania.
mam kilka wątpliwości odnosnie liczenia zbieznosci punktowej i jednostajnej ciagow funkcji i szeregow.
Dla ciagow funkcyjnych:
Jezeli chce obliczyc zbieznosc punktowa na zadanym przedziale to po prostu licze granice: \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} f_{n}(x) = g(x)}\).
Traktuje x jako dowolna stała z zadanego przedzialu, który badamy. Jezeli wyjdzie granica właściwa to znaczy ze jest tam zbiezny punktowo. Wynik tej granicy moze byc jakas funkcja x, bedzie to nasza funkcja do ktorej zbiega ciag funkcyjny.
Potem badam na tym samym przedziale zbieznosc jednostajna, sprawdzam czy: \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} sup| f_{n}(x) - g(x)| = 0}\)
Jezeli tak to jest tez zbiezny jednostajnie na tym przedziale.
A teraz badanie zbieznosci punktowej i jednostajnej szeregow funkcyjnych.
Do badania zbieznosci punktowej juz nie wystarczy zbadanie samej granicy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} f_{n}(x) = g(x)}\) dla dowolnego x z przedzialu. Jest to warunek konieczny, zbieznosci punktowej, moze nam pomoc, jezeli wyjdzie granica niewlasciwa, jesli nie to nic nam to nadal nie mowi.
Tutaj mam problem jak udowadniac zbieznosc punktowa takich szeregow, liczyc je jak zwykle szeregi ciagow liczbowych z kryteriow Cauchyego, porownawczego itp. traktujac x jako stala?
Do badania zbieznosci jednostajnej korzystam z kryterium Weierstrassa szukamy ciągu liczbowego ograniczajacego nasz ciag funkcyjny i badamy jego zbieznosc.
Bylbym wdzięczny za wskazanie ewentualnych luk i bledow mojego rozumowania.