Matematyka.pl

Wykaż, że zachodzi dla \(\displaystyle{ a>1}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{d(n)}{n^a} = (\zeta(a))^2}\),

gdzie \(\displaystyle{ d(n)}\) to liczba dzielników liczby n, natomiast

\(\displaystyle{ \zeta(a) = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^a}}\)

Nie wiem nawet jak się za to zabrać, ta funkcja dzielników sprawia kłopot największy.

Hint:

\(\displaystyle{ \zeta(a)^2 = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{l=1}^{\infty} \frac{1}{k^a} \cdot \frac{1}{l^a} = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{l=1}^{\infty} \frac{1}{(kl)^a} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^a} \cdot \# \{ (k, l) \in \NN_+ \times \NN_+ : k \cdot l = n \}.}\)

Po trzecim znaku "równa się", nie za bardzo rozumiem to przejście. Ponadto co oznacza ten symbol #?

Z góry dzięki

Symbolem \(\displaystyle{ \# A}\) czasem oznacza się liczbę elementów zbioru \(\displaystyle{ A.}\)

Chodzi o to, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN_+}\) w sumie

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{l=1}^{\infty} \frac{1}{(kl)^a}}\)

tyle razy wystąpi składnik \(\displaystyle{ \frac{1}{n^a},}\) ile jest takich par \(\displaystyle{ (k, l),}\) że \(\displaystyle{ k \cdot l = n.}\) Można więc tę sumę zastąpić przez

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^a} \cdot \kappa_n,}\)

gdzie \(\displaystyle{ \kappa_n}\) to liczba wystąpień składnika \(\displaystyle{ \frac{1}{n^a},}\) czyli

\(\displaystyle{ \kappa_n = \# \{ (k, l) \in \NN_+ \times \NN_+ : k \cdot l = n \}.}\)