Matematyka.pl

Wykazać, że \(\displaystyle{ 9 \ |\ \left( 10 ^{13}+19 ^{3}-2\right)}\)

Rozwiązałem to w ten sposób: \(\displaystyle{ 10 ^{13}+19 ^{3}-2 = 10 ^{13}+6859-2=10^{13}+6857}\)

Widzimy tutaj, że suma cyfr wyniesie \(\displaystyle{ 1+6+8+5+7=27}\), a jeśli suma jest podzielna przez \(\displaystyle{ 9}\) to cała cyfra jest podzielna przez \(\displaystyle{ 9}\).

Czy to rozwiązanie jest poprawne? Pytam, ponieważ autor książki proponuje przedstawienie liczby w takiej formie: \(\displaystyle{ \left( 10^{13}-1\right)+ \left( 19^{3}-1\right)= 999999999999 + 18\left( 19^{2}+19+1\right)}\)

Obie te formy są mało "eleganckie" i niepraktyczne, jednak moje rozwiązanie wydaje mi się czytelniejsze. Może ktoś zna lepszy sposób?

Twoje rozwiązanie jest poprawne.
Mamy, że \(\displaystyle{ 19 \equiv 10 \equiv 1 \pmod 9}\), stąd \(\displaystyle{ 10^{13} + 19^{3} - 2 \equiv 1 + 1 - 2 = 0 \pmod 9}\)

Rozwiązanie jest ładne, ale...

a jeśli suma jest podzielna przez 9 to cała cyfra jest podzielna przez 9.

Przypomnij sobie różnice między cyfrą a liczbą.

Przepraszam za pomyłkę i dziękuję za pomoc