Matematyka.pl

Czy mógłby mi ktoś powiedzieć czy rozwiązałem dobrze to zadanie:

\(\displaystyle{ 2x + 3y - 1 + (4x + 6y - 5)y\prime

t = 2x + 3y

y\prime = -\frac{2}{3} + \frac{1}{3}t\prime}\)
po podstawieniu i obliczeniach wychodzi:

\(\displaystyle{ \frac{\frac{2}{3}t - \frac{5}{3}}{\frac{1}{3}t - \frac{7}{3}}dt = dx}\)
po podzieleniu licznika przez mianownik:

\(\displaystyle{ \int2dt + \int\frac{3}{\frac{1}{3}t - \frac{7}{3}}}\)
wychodzi mi:

\(\displaystyle{ 9\ln|\frac{1}{3}(2x + 3y) - \frac{7}{3}| = - x + C}\)

\(\displaystyle{ 2x + 3y - 1 + (4x + 6y - 5)y\prime \ {\red =0}\\
\left[ t = 2x + 3y \Rightarrow y\prime = -\frac{2}{3} + \frac{1}{3}t\prime \right]}\)
\(\displaystyle{ t-1+(2t-5)( \frac{t'-2}{3} )=0\\
\frac{t'-2}{3}= \frac{-t+1}{2t-5}\\
t'-2= \frac{-3t+3}{2t-5}}\\
t'= \frac{t-7}{2t-5}}\\
\frac{2t-5}{t-7} \mbox{d}t = \mbox{d}x \\
2t+3 \ln \left| t-7\right|+C=x \\
2( 2x + 3y)+3 \ln \left| 2x + 3y-7\right|+C=x}\)

próbowałem rozwiązać jeszcze raz i wyszło mi:
\(\displaystyle{ x + 2y + 3\ln|2x + 3y - 7| = C}\)

a rozwiązaniu zadania mam napisane, że powinno wyjść:
\(\displaystyle{ x + 2y + 3\ln|4x + 6y - 14| = C}\)

Czy może ktoś mi pokazać jak rozwiązać to zadanie?

Twój wynik jest równoważny temu z odpowiedzi, gdyż
\(\displaystyle{ 3\ln\left| 4x+6y-14\right| =3\ln 2+3\ln\left| 2x+3y-7\right|}\), czyli lewe strony różnią się o stałą, a to jest ujęte w \(\displaystyle{ C}\) po prawej (\(\displaystyle{ C}\) -dowolna stała rzeczywista).