Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{99} + \frac{1}{100} = \frac{a}{b}}\) , gdzie a,b liczby naturalne oraz \(\displaystyle{ nwd(a,b) = 1}\). Pokaż że \(\displaystyle{ a \cdot b}\) nie może być podzielne przez 5.

wskazówka:
rozpatrując wyrażenia dla dowolnego k naturalnego

\(\displaystyle{ \frac{1}{5k+1}+\frac{1}{5k+2}+\frac{1}{5k+3}+\frac{1}{5k+4}}\)

w postaci \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\), z względnie pierwszymi a i b, okazuje się, że \(\displaystyle{ 5^{2}}\) dzieli a, oraz 5 nie dzieli b.