wykazać malejąca fukncję w zbiorze

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
sobota
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 10 sie 2007, o 11:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 8 razy

wykazać malejąca fukncję w zbiorze

Post autor: sobota » 26 sie 2007, o 12:48

Wykaż, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=|x+2|}\) jest malejąca w zbiorze \(\displaystyle{ (-\infty;-2>}\)

mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

wykazać malejąca fukncję w zbiorze

Post autor: mat1989 » 26 sie 2007, o 13:16

funkcja w tym przedziale wygląda tak f(x)=-x-2.
a to już łatwo wykazać.
choćby przez to że pochodna jest stale ujemna i równa -1.

lukasz1804
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

wykazać malejąca fukncję w zbiorze

Post autor: lukasz1804 » 26 sie 2007, o 13:21

Weźmy dowolne \(\displaystyle{ x_1,x_2\in(-\infty,-2>, x_1f(x_2)}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ |x_1+2|^2-|x_2+2|^2=(|x_1+2|-|x_2+2|)(|x_1+2|+|x_2+2|)}\) i znak tego wyrażenia zależy tylko od pierwszego czynnika (drugi czynnik jest zawsze dodatni).
Mamy przy tym \(\displaystyle{ |x_1+2|^2-|x_2+2|^2=x_1^2+4x_1+4-x_2^2-4x_2-4=(x_1-x_2)(x_1+x_2)+4(x_1-x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2+4)>0}\), gdyż \(\displaystyle{ x_1-x_2}\)

ODPOWIEDZ