Matematyka.pl

Jak udowodnić taką tożsamość?

\(\displaystyle{ \cos 2x \cos x - \sin 4x \sin x = \cos 3x \cos 2x}\)

Wzory z cosinusa różnicy i sumy dwóch kątów do niczego mnie nie prowadzą.

\(\displaystyle{ \cos 2x \cos x - \sin 4x \sin x = \cos 3x \cos 2x \\
\cos 2x \left( \cos x - \cos 3x \right) -2 \sin 2x \cos 2x \sin x = 0}\)
Dla nawiasu używasz wzoru na różnicę cosinusów.

\(\displaystyle{ L=\cos 2x \cos x - \sin 4x \sin x =\cos 2x \cos x-2\sin 2x \cos 2x \sin x=\cos 2x\left[ \cos x-4\sin ^2x \cos x \right] =\\
=\cos 2x\left[ \cos x\left( 1-4\sin ^2x \right) \right] =\cos 2x\left[ \cos x\left( \cos ^2 x -3\sin ^2x \right) \right] =\\
=\cos 2x\left[ \cos^3 x -\cos x \sin ^2x -\cos x 2 \sin ^2x \right] =
\cos 2x\left[ \cos x(\cos^2 x - \sin ^2x) -\sin 2x \sin x \right] =\\=
\cos 2x\left[ \cos x\cos 2x -\sin 2x \sin x \right) \right] = \cos 2x \cos 3x=P}\)

Pewnie można łatwiej.

Mój pomysł polegał by na narysowaniu trojkata z kątem \(\displaystyle{ x}\) i rozpisac powyższe równanie aby wszedzie był kąt \(\displaystyle{ x}\) i potem rozpisać ładnie równanie z trzema bokami trójkąta ale wiadomo, to ma swoją wade bo \(\displaystyle{ x \in \left( 0,90\right)}\)