Zadanie z trojkatem

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
Marzec91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 24 sie 2007, o 23:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dziwnów

Zadanie z trojkatem

Post autor: Marzec91 » 26 sie 2007, o 04:07

Niech D oznacza punkt przecięcia dwusiecznej kąta BCA z bokiem AB; dalej oznaczymy CB=a, CA=b, CD=u.
a) Udowodnić, że zachodzi BD:AD=a:b
b) Obliczyć pole trójkąta ABC, gdy dane są liczby a, b, u.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Lady Tilly
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3807
Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: nie wiadomo
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 712 razy

Zadanie z trojkatem

Post autor: Lady Tilly » 26 sie 2007, o 08:50

Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków.

Niech AD=x wtedy
\(\displaystyle{ \frac{x}{u}=\frac{b}{a}}\)

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 571
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 173 razy

Zadanie z trojkatem

Post autor: JHN » 26 sie 2007, o 13:51

a) Zrób ładny rysunek, poprowadź odcinki \(\displaystyle{ \overline{AP}}\) i \(\displaystyle{ \overline{BQ}}\) takie, że \(\displaystyle{ P,Q}\) należą do dwusiecznej i ww. odcinki są do niej prostopadłe. Zauważ istnienie par trójkątów podobnych i po napisaniu stosownych proporcji dowód jest prawie zakończony.

b)
Niech \(\displaystyle{ |\angle ACD|=\gamma}\)
Wtedy \(\displaystyle{ S_{\Delta ABC}={1\over2}bu\sin{\gamma}+{1\over2}au\sin{\gamma}}\) (1)
ale równocześnie \(\displaystyle{ S_{\Delta ABC}={1\over2}ab\sin{2\gamma}=ab\sin{\gamma}\cos{\gamma}}\)
Stąd mamy \(\displaystyle{ \cos{\gamma}=\frac{(a+b)u}{2ab}}\)
Z "wielkiej jedynki trygonometrycznej" trzeba przejść na \(\displaystyle{ \sin{\gamma}>0}\) i po wykorzystaniu (1) mamy odpowiedź.

Pozdrawiam

ODPOWIEDZ