Zadanie z trojkatem

[Marzec91]

Niech D oznacza punkt przecięcia dwusiecznej kąta BCA z bokiem AB; dalej oznaczymy CB=a, CA=b, CD=u.
a) Udowodnić, że zachodzi BD:AD=a:b
b) Obliczyć pole trójkąta ABC, gdy dane są liczby a, b, u.

[Lady Tilly]

Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków.

AU

3d6a2675c8dae148med.jpg (19.51 KiB) Przejrzano 57 razy

Niech AD=x wtedy
\(\displaystyle{ \frac{x}{u}=\frac{b}{a}}\)

[JHN]

a) Zrób ładny rysunek, poprowadź odcinki \(\displaystyle{ \overline{AP}}\) i \(\displaystyle{ \overline{BQ}}\) takie, że \(\displaystyle{ P,Q}\) należą do dwusiecznej i ww. odcinki są do niej prostopadłe. Zauważ istnienie par trójkątów podobnych i po napisaniu stosownych proporcji dowód jest prawie zakończony.

b)
Niech \(\displaystyle{ |\angle ACD|=\gamma}\)
Wtedy \(\displaystyle{ S_{\Delta ABC}={1\over2}bu\sin{\gamma}+{1\over2}au\sin{\gamma}}\) (1)
ale równocześnie \(\displaystyle{ S_{\Delta ABC}={1\over2}ab\sin{2\gamma}=ab\sin{\gamma}\cos{\gamma}}\)
Stąd mamy \(\displaystyle{ \cos{\gamma}=\frac{(a+b)u}{2ab}}\)
Z "wielkiej jedynki trygonometrycznej" trzeba przejść na \(\displaystyle{ \sin{\gamma}>0}\) i po wykorzystaniu (1) mamy odpowiedź.

Pozdrawiam