2 zadania z teorii liczb

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Marzec91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 24 sie 2007, o 23:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dziwnów

2 zadania z teorii liczb

Post autor: Marzec91 » 26 sie 2007, o 02:21

Również z olimpiad czeskich.
1. Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ 17^{19}+19^{17}}\) jest podzielna przez liczbę \(\displaystyle{ 17+19}\).
2.Znaleźć wszystkie liczby całkowite x,y, które spełniają równanie
\(\displaystyle{ (3x+y)(x+y)=p}\) gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7102
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2626 razy
Pomógł: 687 razy

2 zadania z teorii liczb

Post autor: mol_ksiazkowy » 26 sie 2007, o 02:55

x+y=1 i 3x+y =p lub
x+y=-1 i 3x+y=-p
etc

Marzec91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 24 sie 2007, o 23:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dziwnów

2 zadania z teorii liczb

Post autor: Marzec91 » 26 sie 2007, o 03:46

Dlaczego tak?

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

2 zadania z teorii liczb

Post autor: Tristan » 26 sie 2007, o 03:52

Ad 1:
\(\displaystyle{ 19 \equiv -17 ( \mod 36) \\ 19^{17} \equiv (-17)^{17} = -17^{17} ( \mod 36) \\ 17^{19} + 19^{17} \equiv 17^{19} - 17^{17} =17^{17} ( 17^2 - 1)= 17^{17} 36 8 \equiv 0 ( \mod 36)}\)

bullay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: -----
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 26 razy

2 zadania z teorii liczb

Post autor: bullay » 26 sie 2007, o 10:05

co do drugiego. Jest tak, poniewaz liczba pierwsza dzieli sie tylko przez 1 i sama siebie, wiec moze byc przedstawiona jako iloczyc 1 i p lub -1 i -p.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7102
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2626 razy
Pomógł: 687 razy

2 zadania z teorii liczb

Post autor: mol_ksiazkowy » 26 sie 2007, o 14:41

bullay napisal:
co do drugiego. Jest tak, poniewaz liczba pierwsza dzieli sie tylko przez 1 i sama siebie, wiec moze byc przedstawiona jako iloczyc 1 i p lub -1 i -p.
I tak np gdy x+y=1 , 3x+y=p, otrzymasz ze
\(\displaystyle{ x=\frac{p-1}{2} \ \ , y=\frac{3-p}{2}}\)
p>2 l. pierwsza etc,

Marzec91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 24 sie 2007, o 23:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dziwnów

2 zadania z teorii liczb

Post autor: Marzec91 » 26 sie 2007, o 17:12

Tak tak, już do tego doszedłem. Czyli są cztery rozwiązania, mam rozumieć?

ODPOWIEDZ