Trzy zadania z olimpiad

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Marzec91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 24 sie 2007, o 23:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dziwnów

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Marzec91 » 25 sie 2007, o 21:33

1.Znaleźć wszystkie liczby naturalne n, dla których wartość wyrażenia

\(\displaystyle{ n^{4}-23n^{2}+42}\) jest podzielna przez 83.

2.Udowodnić, że jeżeli n jest liczbą całkowitą nieujemną, to liczba

\(\displaystyle{ 5^{2n+1}\cdot2^{n+2}+3^{n+2}\cdot2^{2n+1}}\) jest podzielna przez 19.

3.Udowodnić, że żadna liczba całkowita x nie spełnia równania

\(\displaystyle{ x^{2}=12n+5}\) gdzie n jest liczbą naturalną.

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Piotr Rutkowski » 25 sie 2007, o 21:39

Co do drugiego, było przed chwilą
http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=40428
Czy to na pewno jest z olimpiady???
3)Zauważ, że:
\(\displaystyle{ 12n+5 \equiv 0+5 \equiv 5 \equiv 2 (mod3)}\), co jest niemożliwe, bo dla dowonego \(\displaystyle{ a N}\)
\(\displaystyle{ a^{2} \equiv 1(mod3)}\) lub
\(\displaystyle{ a^{2} \equiv 0 (mod3)}\)
Ostatnio zmieniony 25 sie 2007, o 21:46 przez Piotr Rutkowski, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
DEXiu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1174
Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jaworzno
Pomógł: 69 razy

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: DEXiu » 25 sie 2007, o 21:44

Co do trzeciego - wystarczy sprawdzić jakie reszty z dzielenia przez 12 dają kwadraty kolejnych liczb (bez kongruencji najłatwiej zbadać po prostu podzielność przez 12 kwadratów liczb postaci \(\displaystyle{ 12k+i}\), gdzie \(\displaystyle{ i=0,1,2,3,...,11}\))

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6174
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2552 razy
Pomógł: 673 razy

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: mol_ksiazkowy » 25 sie 2007, o 21:49

Marzec91 napisał"
1.Znaleźć wszystkie liczby naturalne n, dla których wartość wyrażenia

jest podzielna przez 83.
wsk \(\displaystyle{ n^4-23n^2+42=(n^2-21)(n^2-2)}\)
p=83 l ,pierwsza

Marzec91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 24 sie 2007, o 23:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dziwnów

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Marzec91 » 25 sie 2007, o 21:52

Owszem, z czeskich olimpiad

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Tristan » 25 sie 2007, o 21:53

Ad 3:
Załóżmy, że nie ma się żadnego pomysłu
Ale ma się w głowie wzoru skróconego mnożenia :]
Mamy wtedy:
\(\displaystyle{ x^2 -1=12n+4 \\ (x-1)(x+1)=4(3n+1)}\)
Wynika z tego, że \(\displaystyle{ x-1, x+1}\) są liczbami parzystymi. Niech \(\displaystyle{ x-1=2k, x+1=2(k+1)}\). Wtedy \(\displaystyle{ k(k+1)=3n+1}\). Jeśli \(\displaystyle{ k=3l}\) wartość po lewej stronie równania jest podzielna przez 3. Jeśli \(\displaystyle{ k=3l+2}\), to \(\displaystyle{ k+1=3(k+1)}\) i dostajemy to samo, co w poprzednim przypadku. Zostaje jedynie możliwość, że \(\displaystyle{ k=3l+1}\). Mamy wtedy \(\displaystyle{ (3l+1)(3l+2)=9l^2 +9l+2=3(3l^2+3l)+2}\), czyli po lewej stronie dostajemy liczbę która daje resztę 2 z dzielenia przez 3, a po prawej jest liczba która daje resztę 1 z dzielenia przez 3. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że nie istnieje takie l, czyli nie istnieje takie k, czyli nie istnieje taki x, który spełniałby to równanie.

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Piotr Rutkowski » 25 sie 2007, o 21:58

Co do pierwszego:
Pomnóżmy sobie naszą liczbę przez dwa. Jako, że 2 i 83 są względnie pierwsze to dowód przeprowadzony dla naszej nowej liczby będzie równoważny żądanemu dowodowi.
Mamy sprawdzić, dla jakich n zachodzi \(\displaystyle{ 2n^{4}-46n^{2}+84 \equiv 0 (mod83)}\)
Zauważmy, że;\(\displaystyle{ 2n^{4}-46n^{2}+84 \equiv n^{2}*(2n^{2}-46)+1 (mod83)}\)
A więc wystarczy sprawdzić dla jakich n zachodzi \(\displaystyle{ n^{2}*(2n^{2}-46) \equiv -1 (mod83)}\)
Z naszego iloczynu wynika, że \(\displaystyle{ n^{2} \equiv 1 (mod83)}\) i \(\displaystyle{ 2n^{2}-46 \equiv -1 (mod83)}\), lub na odwrót. Łatwo zauważyć, że w obu przypadkach nasze warunki się wykluczają, co oznacza, że nasze wyrażenie nie jest podzielne przez 83 dla żadnego naturalnego n, co kończy zadanie

EDIT:A tak na marginesie, to ja chciałbym w takim razie pisać olimpiadę w Czechach

Marzec91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 24 sie 2007, o 23:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dziwnów

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Marzec91 » 25 sie 2007, o 22:10

A można w ten sposób?

\(\displaystyle{ x^{2}}\) jest nieparzyste, czyli postaci 2m+1

Wobec tego:

\(\displaystyle{ (2m+1)^{2}=12n+5}\)
po przekształceniach
\(\displaystyle{ m(m+1)=3n+1}\)
I tu utknęłem.

Co do 3. mol_ksiazkowy dał wskazówkę, z której wynika, że zarówno \(\displaystyle{ (n^{2}-21)}\) jak i \(\displaystyle{ (n^{2}-2)}\) muszą być podzielne przez 83, albo jedna z nich przez 83, a druga przez 1. Ale n jest naturalne, czyli odpada podzielność przez 1. Proszę o kolejną wskazówkę...

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Piotr Rutkowski » 25 sie 2007, o 22:13

Co do twojego sposobu z tym x nieparzystym to zauważ, że m≠n

Marzec91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 24 sie 2007, o 23:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dziwnów

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Marzec91 » 25 sie 2007, o 22:15

polskimisiek , musze Cie zmartwić, w odpowiedziach jest napisane, że zadanie spełniają 2 liczby:
1. \(\displaystyle{ n_{1}=41+83m}\)
2.\(\displaystyle{ n_{2}=42+83m}\)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Piotr Rutkowski » 25 sie 2007, o 22:20

Ok, a czy w odpowiedziach napisali dowód? Ja nie mogę znaleźć błędu w swoim dowodzie, więc podtrzymuję to co napisałem
Ostatnio zmieniony 25 sie 2007, o 22:26 przez Piotr Rutkowski, łącznie zmieniany 1 raz.

Marzec91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 24 sie 2007, o 23:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dziwnów

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Marzec91 » 25 sie 2007, o 22:26

Wystarczy podstawić - istnieją wobec tego takie liczby.

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Piotr Rutkowski » 25 sie 2007, o 22:28

OK, zgadzam się, kalkulator jednak nie kłamie , ale i tak chciałbym żeby ktoś sprawdził moje rozwiązanie i powiedział mi gdzie popełniłem błąd w rozumowaniu

Marzec91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 24 sie 2007, o 23:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dziwnów

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Marzec91 » 25 sie 2007, o 22:28

Sprawdzałem, o bu przypadkach zgadza się.

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Trzy zadania z olimpiad

Post autor: Piotr Rutkowski » 26 sie 2007, o 15:17

Szczerze mówiąc jeśli masz duuużo czasu i cierpliwości to możesz sobie "na chama" sprawdzić wszystkie x postaci \(\displaystyle{ 83k+l}\) dla \(\displaystyle{ l N}\), lub \(\displaystyle{ l=0}\) oraz \(\displaystyle{ l}\)

ODPOWIEDZ