calka podwojna na obszarze

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
positivo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 27 sty 2007, o 14:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lublin

calka podwojna na obszarze

Post autor: positivo » 25 sie 2007, o 17:36

witam, ciag dalszy "nauki" do kampanii

jak sie zabrac za policzenie takiej calki
\(\displaystyle{ \iint_{A}\frac{x}{x^2+y^2}}\)
gdy A jest obszarem ogranczonym liniami o rownaniach
\(\displaystyle{ x=2}\)
\(\displaystyle{ y=x}\)
\(\displaystyle{ x=2y}\)

ogolnie jest problem z obliczeniem samej calki...
z gory wielkie dzieki.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

calka podwojna na obszarze

Post autor: luka52 » 25 sie 2007, o 18:18

ogolnie jest problem z obliczeniem samej calki...
Ale chcesz całkować najpierw po dx czy dy

Jeżeli po dx to zauważ, że:
\(\displaystyle{ \frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{1}{2} \frac{2x}{x^2 + y^2}}\)
czyli w liczniku mamy pochodną mianowanika.

W drugim zaś wypadku:
\(\displaystyle{ \frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{1}{x} \frac{1}{1 + ft( \frac{y}{x} \right)^2}}\)
i całkujesz do arctg.

Awatar użytkownika
alia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:39
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 23 razy

calka podwojna na obszarze

Post autor: alia » 25 sie 2007, o 18:20

Narysuj obszar A i ustal granice całkowania - korzystniej ustalić stałe granice dla zmiennej y, tzn. y zmienia się od 0 do 2, natomiast x zmienia się od y do 2y.
Stąd dostajemy całkę
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2}{\int_{y}^{2y}{\frac{x}{x^2+y^2}}}\,dy \,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{2}{\int_{y}^{2y}{\frac{2x}{x^2+y^2}}}\,dy \,dx =
\frac{1}{2}\int_{0}^{2}{\ln(x^2+y^2)|_{y}^{2y}} \,dx =
\frac{1}{2}\int_{0}^{2}{(\ln{5y^2}-\ln{2y^2})} \,dx=
\frac{1}{2}\int_{0}^{2}{\ln{\frac{5}{2}}\,dx=
\frac{1}{2}\ln{\frac{5}{2}\int_{0}^{2} dx=\ln{\frac{5}{2}}\)
.

positivo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 27 sty 2007, o 14:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lublin

calka podwojna na obszarze

Post autor: positivo » 25 sie 2007, o 19:04

alia: a da sie to jakos rozwiazac jezeli mam tak...

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2}\int_{\frac{x}{2}}^{x} \frac{x}{x^2+y^2} dydx}\)
??

bo nie bardzo rozumiem co sie dzieje w Twoim wywodzie...

Awatar użytkownika
alia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:39
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 23 razy

calka podwojna na obszarze

Post autor: alia » 25 sie 2007, o 19:39

Nie liczyłam, bo nie lubię całek z \(\displaystyle{ arctan}\), a do takiej postaci dojdziemy po pierwszym całkowaniu (patrz wskazówka luka52).
A czego nie rozumiesz w moim rozwiązaniu, może uda mi się wyjaśnić ?

Sprawdziłam, da się wyliczyć

positivo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 27 sty 2007, o 14:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lublin

calka podwojna na obszarze

Post autor: positivo » 25 sie 2007, o 19:49

jak to sie stalo, ze ustalilas tak granice? jak do tego dojsc majac podobne zadanie...
i gdzie sie podziala 1/2 pod koniec?

Awatar użytkownika
alia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:39
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 23 razy

calka podwojna na obszarze

Post autor: alia » 26 sie 2007, o 12:15

jak to sie stalo, ze ustalilas tak granice?
Trudno to wyjaśnić bez rysunku, a w tej chwili nie mam czasu by rysować i go tu wrzucić.
Ale jak sobie wykonasz rysunek, to zauważysz że wartości y zmieniają się od 0 do 2 (odpowiednio najmniejsza i największa wartość y widoczna w obszarze który narysujesz).
Natomiast co do x-ów to patrzysz tak jakby oś x była przez chwilę osią wartości (potocznie mówiąć obracasz układ współrzędnych - kartkę z wykresem - o 90 stopni w lewo), wtedy widać, że dolne ograniczenie obszaru to prosta y=x, a górne to prosta \(\displaystyle{ y=\frac{x}{2}}\), stąd aby ustalić jak zmieniają się wartości x, po prostu z równań prostych wyliczamy x=y oraz x=2y.Zatem granice całkowania są takie jak wyżej napisane.
gdzie sie podziala 1/2 pod koniec
Tym pytaniem to mnie zaskoczyłeś. To Ty nie wiesz ile wynosi całka \(\displaystyle{ \int_{0}^{2}\,dx}\)? Jak już ją sobie policzysz to zobaczysz dlaczego w wyniku nie ma liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

positivo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 27 sty 2007, o 14:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lublin

calka podwojna na obszarze

Post autor: positivo » 27 sie 2007, o 01:09

jakos schematem trzeba to zaliczyc...
dla mnie calki sa zbyt skomplikowane, zebym mogl je pojac, juz 2 semestr proboje i brak efektow...

wielkie dzieki za pomoc

ODPOWIEDZ