Znaleźć wektor styczny \(\displaystyle{ v \in R^3}\) do zbioru \(\displaystyle{ \Phi(Z) \subset U}\) w punkcie \(\displaystyle{ a_0 = \Phi (t_0)}\), gdy
\(\displaystyle{ \Phi:U \rightarrow R^3,\\
\Phi =(\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3),\\
U=(0,1) \times (0,1) \subset R^2,\\
Z=( \frac{1}{3}, \frac{1}{2} ) \times ( \frac{1}{3}, \frac{1}{2} ), \\
t_0 = ( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \in \overline{Z} \cap U,\\
\varphi_1(x_1,x_2)=x_1+x_2,\\
\varphi_2=x_1-x_2,\\
\varphi_3=x_1x_2.}\)
Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ v \in R^3}\), więc \(\displaystyle{ v = [v_1,v_2,v_3]}\).
Korzystając ze wzoru
\(\displaystyle{ det[v, \frac{ \partial \Phi }{ \partial t_1(t_0)}, ..., \frac{ \partial \Phi }{ \partial t_{m-1}(t_0)}]=0}\), czyli
\(\displaystyle{ \left|
\begin{array}{ccc}v_1& \frac{ \partial \varphi_1}{ \partial x_1}(t_0) &\frac{ \partial \varphi_1}{ \partial x_2}(t_0)\\v_2& \frac{ \partial \varphi_2}{ \partial x_1}(t_0) &\frac{ \partial \varphi_2}{ \partial x_2}(t_0)\\v_3& \frac{ \partial \varphi_3}{ \partial x_1}(t_0) &\frac{ \partial \varphi_3}{ \partial x_2}(t_0)\end{array}
\right| = 0}\),
otrzymujemy następującą równość:
\(\displaystyle{ v_3= \frac{1}{2} v_1+ \frac{1}{2} v_2}\).
Teraz nie wiem co mam dalej zrobić, aby obliczyć \(\displaystyle{ v_1,v_2 ~~i ~~v_3}\).
Poproszę o jakąś wskazówkę.
