Wyciągnięcie niewymierności z mianownika

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
poczekaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 25 sie 2007, o 14:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 2 razy

Wyciągnięcie niewymierności z mianownika

Post autor: poczekaj » 25 sie 2007, o 14:49

Proszę o pomoc.

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{5}}}\)

Dziękuję.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
DEXiu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1174
Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jaworzno
Pomógł: 69 razy

Wyciągnięcie niewymierności z mianownika

Post autor: DEXiu » 25 sie 2007, o 15:14

\(\displaystyle{ \frac{1}{(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3})+\sqrt[3]{5}}}\) rozszerz aby w mianowniku dostać różnicę sześcianów (to co w nawiasie potraktuj jako jeden składnik) i zobacz co Ci wyjdzie. W mianowniku zostaną dwa pierwiastki - wystarczy jeszcze raz zrobić różnicę sześcianów.

poczekaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 25 sie 2007, o 14:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 2 razy

Wyciągnięcie niewymierności z mianownika

Post autor: poczekaj » 25 sie 2007, o 15:16

A nie sumę sześcianów przypadkiem? Robiłem tak i coś nie wyszło. Możliwe że sie pomyliłem, sprawdzę jeszcze raz. Żeby zostały 2 pierwiastki pod kreską wystarczy pomnożyć góre i dół przez \(\displaystyle{ \sqrt[3]{4}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt[3]{4}}{2+\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{20}}}\)

Nie potrafię dalej.

Awatar użytkownika
DEXiu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1174
Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jaworzno
Pomógł: 69 razy

Wyciągnięcie niewymierności z mianownika

Post autor: DEXiu » 25 sie 2007, o 22:31

Choinka. Faktycznie To żadne wytłumaczenie ale robiłem na szybko w pamięci Dobra. Pomyślę nad tym jeszcze.
P.S. Ale w takiej sytuacji nie zostaną Ci "czyste" pierwiastki bo jeszcze to 2 będzie zawadzać

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7060
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2625 razy
Pomógł: 687 razy

Wyciągnięcie niewymierności z mianownika

Post autor: mol_ksiazkowy » 26 sie 2007, o 04:38

Dexiu napisał
Choinka. Faktycznie To żadne wytłumaczenie ale robiłem na szybko w pamięci Dobra. Pomyślę nad tym jeszcze.
P.S. Ale w takiej sytuacji nie zostaną Ci "czyste" pierwiastki bo jeszcze to 2 będzie zawadzać
poczekaj napisał"
Nie potrafię dalej.
Jak łatwo sie jest pzrekonac, to zadnie taki mały koszmarek, choc dla bardzo lubiacych liczyc...nie mam pełnego rozw wskaze tylko mozliwy trop....wg mnie mozna spróbowac zadac problem usuniecia niewymiernosci z ułamka w sposob taki :
\(\displaystyle{ w=\frac{r}{1+a\sqrt[3]{2}+b\sqrt[3]{3}}= m\sqrt[3]{2}+n\sqrt[3]{3}+k\sqrt[3]{9}+l\sqrt[3]{4}+p\sqrt[3]{6}+q\sqrt[3]{12}+v\sqrt[3]{18}+u\sqrt[3]{36}}\)

gdzie liczby a i b moga byc niewymierne, ale t ze \(\displaystyle{ a^3 , \ b^3 Q}\) i dalej rozwiklac tj szukac zmiennych m,n.... jako zalezne od r, a i b, tu jednak rachunki sa b ciezkie ale sie to udac moze, cień szansy daje fakt, iż wystepują tu pierw trzeciego stopnia z liczb postaci\(\displaystyle{ 2^i 3^j}\) gdzie i,j =0, 1,2 wiec wymnazanie ich daje "układ zamkniety"...
ps znalazłem w pewnej ksiazce...:
\(\displaystyle{ w=\frac{9}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}}= 6\sqrt[3]{2}-3\sqrt[3]{4}+3\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}-3\sqrt[3]{12}+2\sqrt[3]{18}-2\sqrt[3]{36}}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Wyciągnięcie niewymierności z mianownika

Post autor: max » 26 sie 2007, o 20:27

Wystarczy skorzystać z tożsamości:
\(\displaystyle{ x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3xyz = (x + y + z)(x^{2} + y^{2} + z^{2} - xy - xz - yz)}\)

ODPOWIEDZ