uzasadnic równosc korzystajac z tw

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
joannna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 14 sie 2007, o 12:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy

uzasadnic równosc korzystajac z tw

Post autor: joannna » 25 sie 2007, o 14:42

1)\(\displaystyle{ \lim_{n\to } ft(\frac{n}{n+1}\right)^{n^{2}}\left(\frac{5}{2}\right)^{n}=0}\)
2)\(\displaystyle{ \lim_{n\to } ft\frac{n^{n}}{(2n)!}=0}\)
bardzo prosze o wytłumaczenie jak to nalezy rozumiec i co robic bo nie wiem jak udowadniac ten warunek konieczny zbieżności
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Lady Tilly
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3807
Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: nie wiadomo
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 712 razy

uzasadnic równosc korzystajac z tw

Post autor: Lady Tilly » 25 sie 2007, o 15:19

2) zobacz
np. dla \(\displaystyle{ n=1}\) zachodzi \(\displaystyle{ \frac{n^{n}}{n{\cdot}(n+1)}}\) dla \(\displaystyle{ n=2}\) zachodzi \(\displaystyle{ \frac{n^{n}}{n{\cdot}(n+1)(n+2)}}\) dla kolejnych n już da się zauważyć, że mianownik szybciej przyrasta od licznika.

joannna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 14 sie 2007, o 12:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy

uzasadnic równosc korzystajac z tw

Post autor: joannna » 25 sie 2007, o 15:29

dzieki wiem juz o co chodzi tylko zapomnialam dodac ze trzeba to uzasadnic korzystajac z tw o szeregach i tutaj np na jakim tw moge

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

uzasadnic równosc korzystajac z tw

Post autor: setch » 25 sie 2007, o 15:34

\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}=\frac{(n+1)^n(n+1)}{2(2n)!(2n+1)(n+1)}=
\frac{(n+1)^n}{2(2n)!(2n+1)}\\
\lim_{n \to } ft|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n \to } ft| \frac{(n+1)^n}{2(2n)!(2n+1)} \frac{(2n)!}{n^n}\right| = \lim_{n \to } ft| \frac{(n+1)^n}{2(2n+1)n^n} \right|= \lim_{n \to } ft| \frac{1}{4n+2} \right| \lim_{n \to } ft| ft(\frac{n+1}{n}\right)^n \right| = \lim_{n \to } ft| \frac{1}{4n+2} \right| \lim_{n \to } ft| ft(1+\frac{1}{n}\right)^n \right|=0\cdot e =0}\)

Z tego wynika, że ciąg \(\displaystyle{ \{a_n\}}\) jest zbieżny do zera.

joannna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 14 sie 2007, o 12:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy

uzasadnic równosc korzystajac z tw

Post autor: joannna » 25 sie 2007, o 15:40

ale mi się zdaje że jednak to swoją drogą bo z kryterium wynik musi byc wiekszy od 1 i wtedy jest zbiezny a jesli chodzi o warunek konieczny to granica n-tego wyrazu musi wynosic 0 i własnie z tym mam problem czy aby napewno wychodzi 0 chyba ze sie myle

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

uzasadnic równosc korzystajac z tw

Post autor: setch » 25 sie 2007, o 15:40

Twierdzenie i dowód, z którego skorzystałem masz w przedostatnim poście.
http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=40255#165821
Poza tym właśnie policzyłem granice tego ciągu.

joannna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 14 sie 2007, o 12:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy

uzasadnic równosc korzystajac z tw

Post autor: joannna » 25 sie 2007, o 15:54

to dzięki tylko jeszcze zebym wiedziała juz na przyszłość to jak mam udowodnic 1 bo tam wychodzi mi 5/2e byłabym wdzięczna

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

uzasadnic równosc korzystajac z tw

Post autor: setch » 25 sie 2007, o 16:20

\(\displaystyle{ \lim_{n \to } ft [\left( \frac{n^2}{n^2+2n+1} \right)^n ft( \frac{5}{2}\right)^n \right ] =
\lim_{n \to } ft(\frac{5n^2}{2n^2+4n+2} \right)^n =
\lim_{n \to } ft( \frac{2n^2+4n+2+3n^2-4n-2}{2n^2+4n+2}\right)^n =
\lim_{n \to } ft(1+ \frac{3n^2-4n-2}{2n^2+4n+2}\right)^n =
\lim_{n \to } ft[\left(1+ \frac{3n^2-4n-2}{2n^2+4n+2} \right)^{\frac{2n^2+4n+2}{3n^2-4n-2}}\right]^{\frac{2n^2+4n+2}{3n^3-4n^2-2n}}=e^0=1}\)


Miało niby wyjść zera, ale mi wyszło inaczej

Edit: Policzyłem \(\displaystyle{ \lim_{n\to } ft(\frac{n}{n+1}\right)^{2n}}\left(\frac{5}{2}\right)^{n}}\) zamiast tego co było w poleceniu

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

uzasadnic równosc korzystajac z tw

Post autor: max » 25 sie 2007, o 16:39

Wystarczy zauważyć, że w myśl z ciągłości funkcji logarytmicznej i wykładniczej:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\left(\frac{5}{2}\right)^{n}\cdot ft(\frac{n}{n + 1}\right)^{n^{2}} = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{5}{2(1 + \frac{1}{n})^{n}}\right)^{n} =\\
= \lim_{n\to }\exp ft(n\cdot \ln ft(\frac{5}{2(1 + \frac{1}{n})^{n}}\right)\right) = \lim_{x\to - }e^{x} = 0}\)

gdzie \(\displaystyle{ \exp (t) = e^{t}}\)

ODPOWIEDZ