trzy liczby

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
NuLLsKiLL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 16 sie 2007, o 10:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nicość
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 1 raz

trzy liczby

Post autor: NuLLsKiLL » 25 sie 2007, o 13:27

Trzy liczby, których suma jest równa \(\displaystyle{ 93}\), tworzą ciąg geometryczny. Te same liczby stanowią pierwszy, drugi i siódmy wyraz ciągu arytmetycznego. Jakie to liczby?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
DEXiu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1174
Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jaworzno
Pomógł: 69 razy

trzy liczby

Post autor: DEXiu » 25 sie 2007, o 14:15

Niech tymi liczbami będą \(\displaystyle{ a,\,a+r,\,a+6r}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ a+a+r+a+6r=93}\), czyli \(\displaystyle{ 3a+7r=93}\). Ponadto \(\displaystyle{ (a+r)^{2}=a\cdot(a+6r)}\) (warunek na trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego - wyraz środkowy jest średnią geometryczną skrajnych).
\(\displaystyle{ (a+r)^{2}=a\cdot(a+6r)\\a^{2}+2ar+r^{2}=a^{2}+6ar\\r^{2}=4ar\\r=0\,\vee\,r=4a}\)
Wracamy do pierwszego równania i otrzymujemy
\(\displaystyle{ 3a=93\,\vee\,31a=93\\a=31\,\vee\,a=3}\)
Szukane liczby to (3,15,75) lub (31,31,31)

ODPOWIEDZ