Szereg potęgowy raz jeszcze

[Novy]

Wyznaczyć promień i przedział zbieżoności szeregu potęgowego... czy mógłby ktoś krok po kroku?


\(\displaystyle{ \sum_{n=20}^{\infty}\frac{1}{4^{n}+n}(x+2)^{2n}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(x-1)^{n}}{n2^{n} ln {n}}}\)





i jeszcze dwa takie przykładziki zbadania zbieżności zwykłego szeregu liczbowego:


\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(4+(-1)^{n})(n-1)^{{n}^{2}}}{n^{{n}^{2}}}}}\)


\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{3}}{n^{4}+arctg(n!)}}}\)

[max]

Napiszę jakie kroki należy podjąć i jakie mają być ich rezultaty, a szczegóły spróbuj dopracować samodzielnie:

1) Korzystając z kryterium d'Alemberta mamy:\(\displaystyle{ R = 2}\).
Środkiem przedziału zbieżności jest \(\displaystyle{ -2}\). Pozostaje zbadać zbieżność szeregu na końcach przedziału zbieżności - jak łatwo wykazać dla tych punktów (\(\displaystyle{ \{-4, 0\}}\)) nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności.

2) Znów stosujemy kryterium d'Alemberta otrzymując \(\displaystyle{ R = 2}\). Środkiem przedziału zbieżności jest \(\displaystyle{ 1}\). Badając zbieżność na końcach przedziału zbieżności otrzymujemy dla \(\displaystyle{ x = 3}\) szereg rozbieżny (kryterium całkowe) a dla \(\displaystyle{ x = -1}\) szereg zbieżny warunkowo (kryterium Leibniza)

Co do tych dwóch szeregów liczbowych, to pierwszy aż się prosi o kryterium Cauchy'ego (wyjdzie zbieżny), a wyraz drugiego możesz ograniczyć od dołu przez:
\(\displaystyle{ \frac{n^{3}}{n^{4} + n^{4}}}\)
i zastosować kryterium porównawcze z rozbieżnym szeregiem o wyrazie ogólnym:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2n}}\)

[johnsquire]

Przepraszam, ze podpinam sie po tak dlugim czasie.
Skąd w 1 przykladzie wiemy, ze srodek przedzialu zbieznosci to -2 ?