suma szeregów potęgowych

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
joannna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 14 sie 2007, o 12:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy

suma szeregów potęgowych

Post autor: joannna » 25 sie 2007, o 12:13

mam zadanie w którym mam obliczyc sume szeregu zbieznosc umiem udowodnic ale nie wiem njak sume obliczyc
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n^{2}}{5^{n}}}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

suma szeregów potęgowych

Post autor: max » 25 sie 2007, o 16:22

Tworzymy szereg potęgowy o wyrazie ogólnym:
\(\displaystyle{ \frac{n^{2}}{5^{n}}x^{n - 1}}\), całkujemy go wyraz za wyrazem otrzymując szereg o wyrazie ogólnym:
\(\displaystyle{ \frac{n}{5^{n}}x^{n}}\)
Wyłączamy \(\displaystyle{ x}\) przed sumę i znów powołujemy się na twierdzenie o całkowaniu szeregu potęgowego wyraz za wyrazem otrzymując szereg geometryczny, który łatwo sumujemy ze wzoru, i jego zwartą postać poddajemy działaniom odwrotnym do dokonanych w odpowiedniej kolejności, tzn:
różniczkujemy, mnożymy przez wybebeszony wcześniej \(\displaystyle{ x}\) i jeszcze raz różniczkujemy. Na końcu wystarczy podstawić \(\displaystyle{ x = 1}\) i voila, mamy szukaną sumę.

ODPOWIEDZ