Zbadać zbieżność szeregów:
1) \(\displaystyle{ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{n^2 - 1}}{{n^3 - n + 1}}}}\)
2) \(\displaystyle{ \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^n }}{{n\ln n}}}}\)
3) \(\displaystyle{ \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( {n + 1} \right)5^n }}{{2^n 3^{n + 1} }}}}\)
4) \(\displaystyle{ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^{n + 1} } n\left( {\frac{3}{4}} \right)^{n - 1}}\)
Zbieżność szeregów
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Zbieżność szeregów
1) \(\displaystyle{ \frac{n^{2} - 1}{n^{3} - n + 1} > \frac{\frac{1}{2}n^{2}}{2n^{3}} = \frac{1}{4n}}\)
i wystarczy zastosować kryterium porównawcze z rozbieżnym szeregiem \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{4n}}\)
2) Zbieżny warunkowo z kryterium Leibniza, rozbieżny bezwzględnie z kryterium całkowego.
3) Zbieżny z kryterium d'Alemberta.
4) Zbieżny bezwzględnie, z kryterium d'Alemberta.
[edit]No to ja jeszcze poprawiłem ortografa wewnątrz wiadomości... miałem to zrobić wcześniej, ale oderwało mnie inne zadanie
[/edit]
i wystarczy zastosować kryterium porównawcze z rozbieżnym szeregiem \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{4n}}\)
2) Zbieżny warunkowo z kryterium Leibniza, rozbieżny bezwzględnie z kryterium całkowego.
3) Zbieżny z kryterium d'Alemberta.
4) Zbieżny bezwzględnie, z kryterium d'Alemberta.
[edit]No to ja jeszcze poprawiłem ortografa wewnątrz wiadomości... miałem to zrobić wcześniej, ale oderwało mnie inne zadanie
[/edit]
Ostatnio zmieniony 25 sie 2007, o 12:20 przez max, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
Zbieżność szeregów
litości moderatorzy... niech ktoś zmieni tą "zbierzność" chociaż w tytule...
[ Komentarz dodany przez: luka52: 25 Sierpnia 2007, 12:14 ]
Już poprawiłem. A czy przypadkiem zbierzność nie pochodzi od zbierania
[edit by Drizzt]
hehe, no wtedy by sie tak pisało...a że jednak pochodzi od zbiegać to sie inaczej pisze; )
[ Komentarz dodany przez: luka52: 25 Sierpnia 2007, 12:14 ]
Już poprawiłem. A czy przypadkiem zbierzność nie pochodzi od zbierania
[edit by Drizzt]
hehe, no wtedy by sie tak pisało...a że jednak pochodzi od zbiegać to sie inaczej pisze; )
Ostatnio zmieniony 25 sie 2007, o 12:54 przez Emiel Regis, łącznie zmieniany 1 raz.
-
dari2876
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 1 sie 2007, o 15:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radzymin
- Podziękował: 3 razy
Zbieżność szeregów
O kurcze. Nie zauważyłem tego "byka" w tytule . Sorki za niego. Mam coś dziś z myśleniem nie tak. A mógłbyś mi to 3 i 4 rozpisać bo nie wiem za bardzo jak. Będę wdzięczny.
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Zbieżność szeregów
W obu przypadkach skorzystamy z kryterium d'Alemberta w postaci granicznej:
3) Nasz szereg jest szeregiem o wyrazach dodatnich, więc liczymy granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{(n + 1)5^{n}}{2^{n}3^{n + 1}} = \frac{(n + 1)}{3} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{n}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n + 2}{n + 1}\cdot \frac{5}{6}\right) = 1\cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{6} }\)
zatem nasz szereg jest zbieżny.
4) Wyrazy szeregu są zarówno dodatnie jak i ujemne. Badając zbieżność bezwzględną liczymy granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{|a_{n + 1}|}{|a_{n}|}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a_{n} = (-1)^{n + 1}\cdot n\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{n - 1}}\)
czyli \(\displaystyle{ |a_{n}| = n\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n - 1}}\)
a zatem:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{|a_{n + 1}|}{|a_{n}|} = \lim_{n\to \infty}\left(\frac{n + 1}{n}\cdot \frac{3}{4}\right) = 1\cdot \frac{3}{4} }\)
więc badany szereg jest zbieżny bezwzględnie.
3) Nasz szereg jest szeregiem o wyrazach dodatnich, więc liczymy granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{(n + 1)5^{n}}{2^{n}3^{n + 1}} = \frac{(n + 1)}{3} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{n}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n + 2}{n + 1}\cdot \frac{5}{6}\right) = 1\cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{6} }\)
zatem nasz szereg jest zbieżny.
4) Wyrazy szeregu są zarówno dodatnie jak i ujemne. Badając zbieżność bezwzględną liczymy granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{|a_{n + 1}|}{|a_{n}|}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a_{n} = (-1)^{n + 1}\cdot n\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{n - 1}}\)
czyli \(\displaystyle{ |a_{n}| = n\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n - 1}}\)
a zatem:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{|a_{n + 1}|}{|a_{n}|} = \lim_{n\to \infty}\left(\frac{n + 1}{n}\cdot \frac{3}{4}\right) = 1\cdot \frac{3}{4} }\)
więc badany szereg jest zbieżny bezwzględnie.