Zbieżność szeregów

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
dari2876
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 1 sie 2007, o 15:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radzymin
Podziękował: 3 razy

Zbieżność szeregów

Post autor: dari2876 » 25 sie 2007, o 11:02

Zbadać zbieżność szeregów:
1) \(\displaystyle{ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{n^2 - 1}}{{n^3 - n + 1}}}}\)
2) \(\displaystyle{ \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^n }}{{n\ln n}}}}\)
3) \(\displaystyle{ \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( {n + 1} \right)5^n }}{{2^n 3^{n + 1} }}}}\)
4) \(\displaystyle{ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^{n + 1} } n\left( {\frac{3}{4}} \right)^{n - 1}}\)
Ostatnio zmieniony 25 sie 2007, o 12:39 przez dari2876, łącznie zmieniany 5 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Zbieżność szeregów

Post autor: max » 25 sie 2007, o 11:32

1) \(\displaystyle{ \frac{n^{2} - 1}{n^{3} - n + 1} > \frac{\frac{1}{2}n^{2}}{2n^{3}} = \frac{1}{4n}}\)
i wystarczy zastosować kryterium porównawcze z rozbieżnym szeregiem \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{4n}}\)
2) Zbieżny warunkowo z kryterium Leibniza, rozbieżny bezwzględnie z kryterium całkowego.
3) Zbieżny z kryterium d'Alemberta.
4) Zbieżny bezwzględnie, z kryterium d'Alemberta.

[edit]No to ja jeszcze poprawiłem ortografa wewnątrz wiadomości... miałem to zrobić wcześniej, ale oderwało mnie inne zadanie :oops:[/edit]
Ostatnio zmieniony 25 sie 2007, o 12:20 przez max, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Zbieżność szeregów

Post autor: Emiel Regis » 25 sie 2007, o 12:12

litości moderatorzy... niech ktoś zmieni tą "zbierzność" chociaż w tytule...

[ Komentarz dodany przez: luka52: 25 Sierpnia 2007, 12:14 ]
Już poprawiłem. A czy przypadkiem zbierzność nie pochodzi od zbierania

[edit by Drizzt]
hehe, no wtedy by sie tak pisało...a że jednak pochodzi od zbiegać to sie inaczej pisze; )
Ostatnio zmieniony 25 sie 2007, o 12:54 przez Emiel Regis, łącznie zmieniany 1 raz.

dari2876
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 1 sie 2007, o 15:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radzymin
Podziękował: 3 razy

Zbieżność szeregów

Post autor: dari2876 » 25 sie 2007, o 12:36

O kurcze. Nie zauważyłem tego "byka" w tytule . Sorki za niego. Mam coś dziś z myśleniem nie tak. A mógłbyś mi to 3 i 4 rozpisać bo nie wiem za bardzo jak. Będę wdzięczny.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Zbieżność szeregów

Post autor: max » 25 sie 2007, o 12:54

W obu przypadkach skorzystamy z kryterium d'Alemberta w postaci granicznej:
3) Nasz szereg jest szeregiem o wyrazach dodatnich, więc liczymy granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{(n + 1)5^{n}}{2^{n}3^{n + 1}} = \frac{(n + 1)}{3} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{n}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n + 2}{n + 1}\cdot \frac{5}{6}\right) = 1\cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{6} }\)
zatem nasz szereg jest zbieżny.
4) Wyrazy szeregu są zarówno dodatnie jak i ujemne. Badając zbieżność bezwzględną liczymy granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{|a_{n + 1}|}{|a_{n}|}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a_{n} = (-1)^{n + 1}\cdot n\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{n - 1}}\)
czyli \(\displaystyle{ |a_{n}| = n\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n - 1}}\)
a zatem:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{|a_{n + 1}|}{|a_{n}|} = \lim_{n\to \infty}\left(\frac{n + 1}{n}\cdot \frac{3}{4}\right) = 1\cdot \frac{3}{4} }\)
więc badany szereg jest zbieżny bezwzględnie.

ODPOWIEDZ