Matematyka.pl

W ciągu geometrycznym suma trzech początkowych wyrazów jest równa 2, a suma kwadratów tych wyrazów jest równa 12. Wyznacz ten ciąg.

Mój układ równań :
\(\displaystyle{ \begin{cases} a _{1} (1+q+q ^{2} ) =2 \\ (a_{1})^2( 1+q^2+q^4)= 12 \end{cases}}\)

Dostaję wielomian \(\displaystyle{ 2q^4 + 3q^3 + 8q^2 + 6q + 2 = 0}\) który nie ma rozwiązań .
O co tu chodzi ? A może jakieś równanie przeoczyłem które ułatwi sprawę ?
Pozdrawiam

Jakiś bład w przekształceniach wsk np \(\displaystyle{ q=-1}\) może być...

Mi wychodzi \(\displaystyle{ 2q^{4}+6q^{3}+8q^{2}+6q+2=0}\)

Okej, faktycznie gdzieś tam błąd zrobiłem ;d

btw trzeba to robić tym wielomianem ? Nie da się jakoś inaczej na poziomie liceum ?

Można tak - ale to ,,zabawa".

\(\displaystyle{ a\left ( \frac{1}{q}+q\right)=2- a}\) ( \(\displaystyle{ q=0}\) nie spełnia zadania) oraz
\(\displaystyle{ a^2\left (\frac{1}{q^2}+1+q^2 \right)=12}\)

Pierwsze to (po podniesieniu do kwadratu) \(\displaystyle{ a^2\left(\frac{1}{q^2}+1+q^2\right)+a^2=4-4a+a^2}\) za pierwszą część równania wstawiamy drugie.

Można też skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \(\displaystyle{ (a+b+c) ^{2}=a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +2ab+2ac+2bc}\)

Dzięki równości:
\(\displaystyle{ 1+q^2+q^4 = (q^4+2q^2+1) - q^2= (q^2+1)^2-q^2 = (q^2+q+1)(q^2-q+1)}\)
dostajemy po podzieleniu stronami drugiego równania dwukrotnie przez pierwsze:
\(\displaystyle{ \frac{1-q+q^2}{1+q+q^2}=3}\)
i dalej łatwo.

Q.