Rozkład dwumianowy

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 165 razy

Rozkład dwumianowy

Post autor: Poszukujaca » 1 mar 2016, o 12:38

Niech \(\displaystyle{ p_{5}(k)= {n \choose k} \left( \frac{1}{5} \right)^{k} \left( \frac{4}{5} \right)^{n-k}}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,...,n}\). Udowodnij, że funkcja \(\displaystyle{ p_{5}}\) jest rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,...,n \right\}}\)

Wiem, że jest to przykład rozkładu dwumianowego - i wystarczy się na to powołać i jest dowód. Jednak chciałabym udowodnić to przez rachunki.

Liczę sumę \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \left( \frac{1}{5} \right)^{k} \left( \frac{4}{5} \right)^{n-k}}\). Musi mi ona wyjść równa jeden. Niestety dotychczasowe rachunki do niczego mnie nie prowadzą.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14280
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 4691 razy

Rozkład dwumianowy

Post autor: Premislav » 1 mar 2016, o 15:58

Wystarczy zastosować wzór dwumianowy Newtona:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{ n \choose k}a^{k}b^{n-k}=(a+b)^n}\). Można go udowodnić przez indukcje, kombinatorycznie albo z jakichś dziwnych tożsamości.

ODPOWIEDZ