granica ciągu z sumą pierwiastków

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
paolcia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 24 sie 2007, o 19:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Białystok

granica ciągu z sumą pierwiastków

Post autor: paolcia » 24 sie 2007, o 21:21

Cześć mam problem z policzeniem takiej granicy


\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\frac{1}{n\cdot \sqrt{n}}\left(\sqrt{1+n}+ \sqrt{2+n}+ \ldots + \sqrt{2n}\right)}\)

Z góry dziękuję za pomoc

Gdy prosisz o rozwiązanie zadania załóż własny temat.
Wyrażenia matematyczne umieszczaj w całości między znacznikami

Kod: Zaznacz cały

[tex] [/tex]
bez zbędnego dzielenia ich na części.
Pozdrawiam
max
Ostatnio zmieniony 24 sie 2007, o 22:34 przez paolcia, łącznie zmieniany 2 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

granica ciągu z sumą pierwiastków

Post autor: max » 24 sie 2007, o 22:45

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n\cdot \sqrt{n}}\cdot\sum_{k = 1}^{n}\sqrt{k + n}\right) = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^{n}\frac{\sqrt{\frac{k}{n} + 1}}{n} = t\limits_{0}^{1} \sqrt{x + 1}\, =\ldots}\)
ostatnie przejście wynika z definicji całki oznaczonej Riemanna, z obliczeniem całki przez proste podstawienie nie powinnaś mieć problemu.

paolcia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 24 sie 2007, o 19:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Białystok

granica ciągu z sumą pierwiastków

Post autor: paolcia » 24 sie 2007, o 23:55

tak z całką sobie poradzę, a czy mógłbyś mi wytłumaczyć skąd takie przedziały na całce (0,1)??

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

granica ciągu z sumą pierwiastków

Post autor: Piotr Rutkowski » 25 sie 2007, o 00:04

No właśnie z definicji całki Riemanna

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

granica ciągu z sumą pierwiastków

Post autor: max » 25 sie 2007, o 10:36

W sumie trochę nieinteligentnie to zrobiłem... ale najpierw skąd to się wzięło - jeśli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest określona na przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\), to przyjmując:
\(\displaystyle{ x_{0} = a, \, x_{n} = b\\
i \{0, 1, 2, \ldots, n - 1\}\\
x_{i} < x_{i + 1}\\
\Delta x_{i} = x_{i+1} - x_{i}\\
\xi_{i} [x_{i}, x_{i + 1}]\\
l = \max \{\Delta x_{i}\}}\)

mamy:
\(\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b} f(x)\, = \lim_{l \to 0}\sum f(\xi_{i})\cdot \Delta x_{i}}\)

Teraz obierając:
\(\displaystyle{ x_{0} = 0, \, x_{n} = 1\\
\Delta x_{i} = \frac{1}{n}\\
\xi_{i} = x_{i + 1}\\
f(x) = \sqrt{x + 1}}\)

i przechodząc do granicy przy \(\displaystyle{ n\to }\) otrzymujemy wynik z posta powyżej, a jeśli przyjmiemy:
\(\displaystyle{ x_{0} = 1, \, x_{n} = 2\\
f(x) = \sqrt{x}}\)

pozostawiając pozostałe założenia bez zmian, to dostaniemy od razu \(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{2}\sqrt{x}\, }\)

paolcia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 24 sie 2007, o 19:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Białystok

granica ciągu z sumą pierwiastków

Post autor: paolcia » 28 sie 2007, o 15:44

Kurcze próbowałam to zrozumieć , ale mi nie wyszło jak możesz( a widzę, że to dokonale rozumiesz:) ) to proszę Cię wytłumacz mi jak od tej granicy sumy przejść na całkę a dokładniej jak znaleźć ten wzór na f(x) pod całką i jak, w jakiś łatwy sposób, obliczyć ten przedział na całce, bo to napewno ma jakieś powiązanie z tą sumą, ale ja kompletnie nie wiem jakie:( proszę o pomoc

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

granica ciągu z sumą pierwiastków

Post autor: max » 28 sie 2007, o 16:44

Mamy sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n}\frac{\sqrt{\frac{k}{n} + 1}}{n}}\)
i jej granicę przy \(\displaystyle{ n}\) dążącym do nieskończoności:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^{n}\frac{\sqrt{\frac{k}{n} + 1}}{n}}\)
a z drugiej strony mamy całkę oznaczoną:
\(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{2}\sqrt{x}\, \mbox{d}x}\)

Nieformalnie możemy powiedzieć, że suma całkowa funkcji ciągłej \(\displaystyle{ f}\) w przedziale \(\displaystyle{ [a, b]}\) jest przybliżeniem pola figury zawartej między osią \(\displaystyle{ OX}\), wykresem funkcji i prostymi \(\displaystyle{ x = a, \ x = b}\). Suma ta w wyniku następującego działania:
Dzielimy przedział \(\displaystyle{ [a, b]}\) na mniejsze przedziały \(\displaystyle{ [x_{i}, x_{i + 1}]}\) (sumujące się do \(\displaystyle{ [a, b]}\)), przy czym w każdym z tych przedziałów obieramy jakiś punkt \(\displaystyle{ \xi_{i}}\) i w tym punkcie obliczamy wartość funkcji \(\displaystyle{ f}\) a następnie wymnażamy przez długość tego przedziału. Otrzymany iloczyn możemy interpretować jako pole powierzchni prostokąta o bokach długości \(\displaystyle{ x_{i + 1} - x_{i}, f(\xi_{i})}\)
Aby teraz z takiej sumy uzyskać całkę, czyli aby uzyskać dokładną wartość pola wyżej opisanej figury przechodzimy do granicy, gdy długość najdłuższego z przedziałów (a właściwie przedziału nie krótszego niż każdy z pozostałych, bo nie zawsze musi istnieć jeden najdłuższy), na które dzielimy przedział \(\displaystyle{ [a,b]}\) zbiega do zera.

Tak samo w naszym przykładzie - możemy zauważyć, że
\(\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n}\frac{\sqrt{\frac{k}{n} + 1}}{n}}\)
powstaje gdy przybliżymy pole figury zawartej między wykresem funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto\sqrt{x}}\), osią odciętych i prostymi \(\displaystyle{ x = 1, \ x = 2}\) w wyżej opisany sposób, dzieląc przedział \(\displaystyle{ [a, b]}\) na przedziały \(\displaystyle{ \left[1 + \frac{k-1}{n}, 1 + \frac{k}{n}\right]}\). Wartość \(\displaystyle{ 1 + \frac{k}{n}}\) to nic innego jak prawy koniec k-tego takiego przedziału, w którym obliczamy wartość naszej funkcji otrzymując \(\displaystyle{ \sqrt{1 + \frac{k}{n}}}\) i którą to wartość następnie mnożymy przez długość przedziału, za każdym razem wynoszącą \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\).
A ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n} = 0}\), to długość wszystkich naszych przedziałów zbiega przy \(\displaystyle{ n \to \infty}\) do zera i możemy stwierdzić, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^{n}\frac{\sqrt{\frac{k}{n} + 1}}{n} = \int\limits_{1}^{2}\sqrt{x}\, \mbox{d}x}\)

Dla lepszego zapoznania się z całką Riemanna polecam jakiś podręcznik do analizy, ja korzystam z 'Rachunku różniczkowego i całkowego' Fichtenholza, całki oznaczone są w tomie drugim począwszy od, hmm... ustępu 294.

ODPOWIEDZ