4 zadania z brył

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
tomczak13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 21 cze 2007, o 18:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

4 zadania z brył

Post autor: tomczak13 » 24 sie 2007, o 19:18

Mam takie 4 zadańka z którymi mam problem, ponieważ dawno nie miałem już do czynienia z stereometrią, a zostałem poproszony o pomoc.
I teraz ja bardzo prosze. Tylko jak zacząć bo nie pamietam po prostu wszystkiego już niestety

1. dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi \(\displaystyle{ a}\) kącie sciany bocznej przy wierzchołku α. Oblicz objętość i pole całkowite tego ostrosłupa.
W tym zadaniu chodzi mi głównie o ten kąt, gdzie on sie zawiera. Pomiędzy krawędzią a wysokością ściany bocznej?

2.Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa trójkątnego są nachylona do podstawy pod tym samym kątem α. Podstawa jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych \(\displaystyle{ a,b}\) Oblicz objętość ostrosłupa.

3.Trójkąt równoramienny o kącie między ramionami 120 i podstawie długości 20 zwinieto w stozek. Oblicz pole całkowite i objętość stożka.
Nie pamietam tutaj zależności z tymi kątami.

4.W stożek o promieniu podstawy R i wysokości H wpisano walec, którego wysokość jest trzy razy większą od promienia jego podstawy. Wyznacz stosunek objętości walce do objętości stożka.
Nie bardzo wiem jak sie za to zabrac. Czegoś mi brakuje
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kuma
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 259
Rejestracja: 16 sie 2007, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 69 razy

4 zadania z brył

Post autor: kuma » 24 sie 2007, o 21:05

Ad.1
Jest to kąt płaski między krawędziami bocznymi (kąt na ścianie bocznej przy wierzchołku)

(Niestety nie umiem jeszcze wstawiać rysunków więc będę musiał to inaczej zobrazować)

a-krawędź podsatwy
α-kąt ściany bocznej przy wierzchołku
h-wysokość ściany bocznej
H-wysokość ostrosłupa

\(\displaystyle{ tg\frac{1}{2}}\)α\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ \frac{0.5a}{h}}\)

wyznaczamy h i wstawiamy do Pitagorasa
\(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{6}}\)*\(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{6}}\)\(\displaystyle{ +}\)\(\displaystyle{ H^{2}}\)\(\displaystyle{ =h^{2}}\)
(nie umiem w Latexie pisać jeszcze dobrze drugich potęg)

stąd wyliczamy H
i wszystko już mamy, możemy podstawiać do wzorów na pole powierzchni całkowitej i objętość

Gregorias
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 22 sie 2007, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kędzierzyn-Koźle
Podziękował: 1 raz

4 zadania z brył

Post autor: Gregorias » 25 sie 2007, o 08:49

AD 2 Zauważ, że wszystkie trójkąty tego ostrosłupa, składające się z krawędzi bocznych, wysokości H i odcinków r, które są połączeniem między wierzchołkami podstawy, a punktem gdzie H styka się z podstawą są przystające wskutek twierdzenia KBK (kąt a i 90 oraz wysokość H), toteż odległość dolnego wierzchołka H od wierzchołków podstawy jest równe r, czyli jest to środek koła opisanego na tym trójkącie. Jest to trójkąt prostokątny, toteż środek tego okręgu jest środkiem przeciwprostokątnej. Dalej już sobie bez problemu wyliczysz.

AD 3. Obliczmy najpierw 2 i 3 bok trójkąta(oznaczmy je l). W tym celu zauważamy, że jak trójkąt podzielimy na pół to mamy kąty \(\displaystyle{ 90^\circ}\), \(\displaystyle{ 60^\circ}\), \(\displaystyle{ 30^\circ}\), a podstaw przy kącie \(\displaystyle{ 30^\circ}\) i \(\displaystyle{ 90^\circ}\) będzie równa \(\displaystyle{ 10}\). Z tego wyliczymy, że bok l jest równy \(\displaystyle{ \frac{20\sqrt3}{3}}\).

Ze wzoru na powierzchnię boczną stożka wyliczysz r. A potem z Pitagorasa, podstawiając r i l będziesz miał wysokość.

Jakby co to pytaj.

tomczak13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 21 cze 2007, o 18:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

4 zadania z brył

Post autor: tomczak13 » 25 sie 2007, o 14:22

teraz jeszcze tylko 2 zadanie i bedzie wszystko grało. Własnie o to mi chodziło że nie wiedziałem jak zacząć. Bo dawno tego działu nie robiłem i wyleciało.

Gregorias
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 22 sie 2007, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kędzierzyn-Koźle
Podziękował: 1 raz

4 zadania z brył

Post autor: Gregorias » 25 sie 2007, o 14:36

Jakie 2. zadanie? Myślałem, że ci już praktycznie je zrobiłem?

tomczak13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 21 cze 2007, o 18:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

4 zadania z brył

Post autor: tomczak13 » 25 sie 2007, o 14:40

przepraszam 4, pomyłka

Gregorias
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 22 sie 2007, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kędzierzyn-Koźle
Podziękował: 1 raz

4 zadania z brył

Post autor: Gregorias » 25 sie 2007, o 15:06

Ach 4.

Zrobiłem przekrój tego walca i ostrosłupa(Niestety nie pozwalają mi wysłać linka do obrazka, więc jak go będziesz potrzebował to pisz na pw):

Najpierw zróbmy stosunek objętości walca do ostrosłupa wiedząc to co na razie wiemy czyli:

\(\displaystyle{ \frac{9\pi r^{3}}{ \pi R^{2}H}}\)

Poobliczajmy sobie teraz pola tych figur. Zauważmy, że(pomnożyłem już strony przez 2 by nie robić zamieszania w LaTeXie):

\(\displaystyle{ HR = 3r(R-r) + r(H-3r) + 6r^{2}}\)
\(\displaystyle{ HR = 3Rr + Hr}\)
\(\displaystyle{ HR = r(3R+H)}\)
\(\displaystyle{ \frac{HR}{3R+H} = r}\)

Teraz podstawiamy i mamy oczekiwany stosunek. Mogłem popełnić błąd w obliczeniach ( w głowie robię), ale sądzę, że sama idea jest dobra.

Awatar użytkownika
kuma
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 259
Rejestracja: 16 sie 2007, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 69 razy

4 zadania z brył

Post autor: kuma » 25 sie 2007, o 15:08

Ad.4

H-wysokość syożka
R-promien podsawy stożka
x-promień podstawy walca
3x-wysokość walca



Teraz z podobieństwa trójkątów ABC i ADE
\(\displaystyle{ \frac{H-3x}{H}=}\)\(\displaystyle{ \frac{2x}{2R}}\)

Z tego wyznaczmy x za pomocą H i R
Teraz liczymy objętość walca i stożka, a następnie ich stosunek

ODPOWIEDZ