Parzysta liczba rzutów monetą.

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Parzysta liczba rzutów monetą.

Post autor: Emiel Regis » 24 sie 2007, o 18:58

Rzucamy monetą aż do chwili uzyskania dwóch kolejnych orłów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba rzutów będzie parzysta?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Gregorias
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 22 sie 2007, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kędzierzyn-Koźle
Podziękował: 1 raz

Parzysta liczba rzutów monetą.

Post autor: Gregorias » 26 sie 2007, o 17:37

Właśnie wróciłem z przejażdżki rowerem i sobie pomyślałem(podczas jazdy) i oto co na razie mam:
Szansa na to ,że wystąpi 2O w dwóch rzutach(4 możliwości) to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)
Szansa na to ,że wystąpi 2O w 3 rzutach(8 możliwości) to \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\)
Potem zauważamy, że potrzeba było n rzutów by nastąpiło 2O (czyli OORO zalicza się jako OO w dwóch rzutach) końcówka musi być -ROO, czyli szans na to, to \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\), czyli łaczny wzór to XROO, przyczym X to jest cząstka, gdzie nie występuje OO, szansa na X*1/8 daje nam szanse na to by obliczyć jaka jest szansa to, że potrzeba było aż n rzutów do osiągnięcia rezultatu. Teraz potrzebujemy wzoru na obliczenie ile jest taki X i szansy ich wystapienia (czyli \(\displaystyle{ \frac{ilosc X o n rzutach bez OO}{2^{n}}}\) . Tą szansę możemy obliczyć tym sposobem:
Załóżmy ciąg X o 3 rzutach: AAA. To działanie obejmujemy w nawiasy lewostronnie(chyba tak się to nazywa), czyli ((AA)A), najpierw obliczamy ile jest rzutów bez sukcesu w najbardziej zewnętrznym nawiasie, czyli (AAA), a potem odejmujemy od tej liczby, liczbę możliwych rzutów bez sukcesu z nawiasu bardziej wewnętrznego itd. aż do nawiasu 2-elementowego. Mamy liczbę możliwych kombinacji.
To by było na razie tyle, co wymyśliłem jadąc a teraz jestem zbyt zmęczony i muszę odpocząć. Później się za resztę wezmę, ale mam nadzieję, że tyle ci wystarczy i nie będę musiał. Najpierw sprawdź czy nie ma błędów .

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Parzysta liczba rzutów monetą.

Post autor: Emiel Regis » 26 sie 2007, o 18:26

Nie do końca wiem co mi chciałeś przekazać. Szczególnie to wyliczenie X... bo w nim cała trudność leży. No w kazdym razie poniżej zamieszczam rozwiązanie.
Gregorias pisze:Szansa na to ,że wystąpi 2O w dwóch rzutach(4 możliwości) to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)
Szansa na to ,że wystąpi 2O w 3 rzutach(8 możliwości) to \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\)
Tutaj w drugim rozumiem że masz na myśli konkretne ułożenie ROO?, bo OO w trzech rzutach to by było 3/8.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Jeśli kogoś ciekawi to znalazlem takie rozwiazanie:
\(\displaystyle{ H_1}\) - pierwsza reszka w pierwszym rzucie
\(\displaystyle{ H_2}\) - pierwsza reszka w drugim rzucie
\(\displaystyle{ H_3}\) - pierwsza reszka w trzecim rzucie lub później
\(\displaystyle{ P(A)=P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)+P(A|H_3)P(H_3)}\)
P(A)=x
p - orzeł
q - reszka
\(\displaystyle{ x=(1-x)q + xpq +1p^2}\)
Sprytny sposób.

Gregorias
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 22 sie 2007, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kędzierzyn-Koźle
Podziękował: 1 raz

Parzysta liczba rzutów monetą.

Post autor: Gregorias » 26 sie 2007, o 19:07

Tutaj w drugim rozumiem że masz na myśli konkretne ułożenie ROO?, bo OO w trzech rzutach to by było 3/8.
Rzucamy monetą aż do chwili uzyskania dwóch kolejnych orłów
, czyli w trzech rzutach tylko ROO pasuje, bo OOR i OOO to już zalicza się do 2 rzutów, gdyż po OO przerywamy rzucanie.

Co do mojego sposobu liczenia X to już się zagalopowałem i zauważyłem teraz błąd w liczeniu, więc możesz uznać ten sposób za błędny.

Co do twego rozwiązania to go nie rozumiem. Co znaczy x (P(A)) i jak te z tych wzorów obliczyć prawdopodobieństwo wyliczenia szansy pojawienia się OO w parzystej liczbie rzutów.

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Parzysta liczba rzutów monetą.

Post autor: Emiel Regis » 26 sie 2007, o 19:46

P(A) - prawdopodobieństwo że wypadną dwa orły w parzystej liczbie rzutow
Dla ułatwienia zapisu oznaczylem je jako x.

Z poniższego równania należy teraz tylko wyznaczyć x a następnie wstawic p=q=1/2. Bo takie jest standardowe prawdopodobieństwo wyrzucenia orła i reszki. Zapisałem to ogólniej bo może być niesymetryczna moneta.
\(\displaystyle{ x=(1-x)q + xpq +1p^2}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{q+p^2}{1+q^2}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{3}{5}}\)

ODPOWIEDZ