Błądzenie losowe once again.

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Błądzenie losowe once again.

Post autor: Emiel Regis » 24 sie 2007, o 18:22

Pijak znajduje się 3 kroki od przepaści. Szansa wykonania kroku w kierunku przepaści wynosi 1/3, w przeciwnym 2/3, kroki są niezależne. Jaka jest szansa ocalenia? Zakładamy, że pijak spada, gdy znajdzie się na krawędzi.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

jovante
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 204
Rejestracja: 23 cze 2007, o 14:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Pomógł: 56 razy

Błądzenie losowe once again.

Post autor: jovante » 26 sie 2007, o 23:32

\(\displaystyle{ P_i}\) - prawdopodobieństwo ocalenia i kroków od przepaści (\(\displaystyle{ i\geqslant 0}\))

Z warunków zadnia mamy:

\(\displaystyle{ P_0=0 \\ \lim_{n\to } P_n=1 \\ P_i=\frac{2}{3}P_{i+1}+\frac{1}{3}P_{i-1}}\)

Z ostatniego równania rekurencyjnego otrzymujemy \(\displaystyle{ P_{i+1}-P_i=\frac{P_1}{2^i}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ P_i=\sum_{n=0}^{i-1} (P_{n+1}-P_n)}\), to łatwo widać, że \(\displaystyle{ 1=\frac{P_1}{1-\frac{1}{2}}}\)

Ostatecznie otrzymujemy wynik:

\(\displaystyle{ P_3=\sum_{n=0}^{2} (P_{n+1}-P_n)=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2})=\frac{7}{8}}\)

matematyka464
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 3 lis 2013, o 12:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 208 razy
Pomógł: 1 raz

Błądzenie losowe once again.

Post autor: matematyka464 » 10 mar 2015, o 21:47

Nie rozuimem skąd bierze się ta równość:
\(\displaystyle{ P_i=\frac{2}{3}P_{i+1}+\frac{1}{3}P_{i-1}}\)
Czy mógłby ktoś to wyjaśnić?

ODPOWIEDZ