ciągłość funkcji

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
crayan4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 14 sie 2007, o 17:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

ciągłość funkcji

Post autor: crayan4 » 24 sie 2007, o 17:24

Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ a,b\in R}\) funkcja


\(\displaystyle{ F(x) :=\begin{cases} ax+1 \hbox{ dla } x\leqslant \pi/2)\\sin(x) +b\hbox{ dla } x > \pi/2\end{cases}}\)


jest ciągła??
Proszę o pomoc
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Lady Tilly
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3807
Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: nie wiadomo
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 712 razy

ciągłość funkcji

Post autor: Lady Tilly » 24 sie 2007, o 17:32

Obrazowo mówiąc można powiedzieć, że wykres funkcji ciągłej "nigdzie się nie przerywa". Masz brać pod uwagę punkt szczególny \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}}\) musisz zbadać granice dla
y=sin(x)+b przy x dążącym do tego szczególnego punktu z prawej strony.

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

ciągłość funkcji

Post autor: setch » 24 sie 2007, o 17:32

\(\displaystyle{ \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} ax+1=\frac{a\pi}{2}+1\\
\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^+}\sin x+b=1+b\\
\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} ax+1=\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^+}\sin x+b\\
\frac{a\pi}{2}+1=1+b\\
b=\frac{a\pi}{2}}\)

Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

ciągłość funkcji

Post autor: Calasilyar » 24 sie 2007, o 17:35

\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}^{+}}F(x)=\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}^{+}}(sinx+b)=b+1\\
\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}^{-}}F(x)=\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}^{-}} (ax+1)= \frac{\pi}{2}a+1\\
\frac{\pi}{2}a+1=b+1\\
b=\frac{\pi}{2}a}\)

crayan4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 14 sie 2007, o 17:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

ciągłość funkcji

Post autor: crayan4 » 24 sie 2007, o 17:38

aha!! i tyle?? też do tego doszedłem ale myślałem, że jeszcze coś więćej...

ODPOWIEDZ