Matematyka.pl

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) narysowano środkową \(\displaystyle{ AD}\). Wiadomo, że miara kąta przy wierzchołku \(\displaystyle{ B}\) jest równa \(\displaystyle{ 30}\) stopni, a przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\) - \(\displaystyle{ 15}\) stopni. Oblicz miarę kąta \(\displaystyle{ DAC}\).

Bardzo proszę o jakąś wskazówkę jak to rozwiązać

Niech \(\displaystyle{ BC=2a}\)

Z tw. sinusów w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) wynika że \(\displaystyle{ \frac{AC}{\sin30^0}=\frac{BC}{\sin135^0}}\) wychodzi że \(\displaystyle{ AC=a\sqrt2}\)

Z własności środkowej: \(\displaystyle{ BD=DC=a}\)

W celu obliczenia szukanego kąta piszesz tw. sinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ ADC}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin DAC}=\frac{a\sqrt2}{\sin ADC}}\)

Ze względu na to że \(\displaystyle{ \sphericalangle BAC=135^0=\sphericalangle BAD+\sphericalangle DAC}\), to można uznać że \(\displaystyle{ \sphericalangle BAD=x}\), oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle DAC=135^0-x}\)

Z sumy miar kątów w trójkącie \(\displaystyle{ ADC}\) wynika, że \(\displaystyle{ 135^0-x+15^0+\sphericalangle ADC=180^0}\), stąd \(\displaystyle{ \sphericalangle ADC=x+30^0}\).

Z równania \(\displaystyle{ \frac{a}{\sin DAC}=\frac{a\sqrt2}{\sin ADC}}\) wynika zatem, że

\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \left( 135^0-x\right) }=\frac{a\sqrt2}{\sin \left( x+30^0\right) }}\)

dzielimy równanie obustronnie przez \(\displaystyle{ a}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin \left( 135^0-x\right) }=\frac{\sqrt2}{\sin \left( x+30^0\right) }}\)

mnożysz teraz to na krzyż, wykorzystujesz wzory na sinus sumy i różnicy kątów, i rozwiązujesz równanie trygonometryczne w przedziale \(\displaystyle{ x\in (0^0, 180^0)}\)

powinno wyjść że \(\displaystyle{ x=105^0}\)

a z tego wynika że \(\displaystyle{ \sphericalangle DAC=135^0-x=135^0-105^0 = \boxed{30^0}}\)