zad z egzaminu

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
rafalmistrz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 16 kwie 2007, o 22:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: bielsk
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 2 razy

zad z egzaminu

Post autor: rafalmistrz » 24 sie 2007, o 15:28

wyznacz pochodna kieronkowa funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=3x^2-6xy+y^2}\) w punkcie \(\displaystyle{ P= ( -\frac{1}{3}, -\frac{1}{2}}\) w kierunku wektora jednostkowego tworzacego kat \(\displaystyle{ \alpha}\) z dodatnia polosia osi OX. dla jakiego kata pochopdna ta ma najwieksza wartosc?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

zad z egzaminu

Post autor: luka52 » 24 sie 2007, o 16:28

Obliczamy wpierwej:
\(\displaystyle{ \nabla f = ft[ 6x - 6y , \ - 6x + 2y \right]}\)
Niech nasz wektor to \(\displaystyle{ \vec{u} = ft[ \cos , \sin \right]}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ \nabla_u f(x,y) = \nabla f \circ \vec{u} = ft( 6x - 6y \right) \cos + ft( - 6x + 2y \right) \sin \\
\nabla_u f ft( - \frac{1}{3}, - \frac{1}{2} \right) = 2 \sin }\)

Następnie szukamy ekstremów funkcji \(\displaystyle{ g(x) = \cos + \sin = \sqrt{2} \sin ft( + \frac{\pi}{4} \right)}\).
Maksium jest dla \(\displaystyle{ g_{max} = g ft( \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}}\) (zakładamy, że \(\displaystyle{ alpha [0; 2 pi )}\) )
Czyli dla \(\displaystyle{ \alpha =\frac{\pi}{4}}\) pochodna kierunkowa osiąga największą wartość.

PS. Szczerze mówiąc to patrząc na wynik nie jestem pewien, czy się gdzieś nie pomyliłem

edit
Teraz już powinno być OK.
Ostatnio zmieniony 24 sie 2007, o 17:07 przez luka52, łącznie zmieniany 3 razy.

rafalmistrz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 16 kwie 2007, o 22:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: bielsk
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 2 razy

zad z egzaminu

Post autor: rafalmistrz » 24 sie 2007, o 16:55

\(\displaystyle{ \nabla f = ft[ 6x^2 - 6y , \ - 6x + 2y \right]}\) nei weim czy dobrze rozumiem o co chodzi ale raczej powinno byc \(\displaystyle{ \nabla f = ft[ 6x - 6y , \ - 6x + 2y \right]}\) ale bardzo dziekuje o to co zrobiles mniej wiecej wiem o co chodzi:) ale jak mozesz to podaj poprawny wynik i sprawdz czy dobrze znalazlem blad

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

zad z egzaminu

Post autor: luka52 » 24 sie 2007, o 17:00

rafalmistrz, ano widzisz, wydawało mi się, że we wzorze funkcji jest \(\displaystyle{ 2x^3}\) Już nanoszę poprawki.

ODPOWIEDZ