Matematyka.pl

Obliczyć granicę funkcji bez stosowania reguły de l'hospitala

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\1}\frac{tg(x^{400}-1)}{sin(x-1)}}\)

Odpowiedź jaka powinna wyjść to 400.

podstaw \(\displaystyle{ t \equiv x-1}\). korzystajac z tego ze \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} {\tan t \over t} = \lim_{t \to 0} {\sin t \over t} = 1}\) mamy
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} {\tan (x^{400} - 1) \over \sin (x-1)} = \lim_{t \to 0} {\tan (t((1-t)^{399} + (1-t)^{398} + ... + 1)) \over \sin t} = \lim_{t \to 0} (1-t)^{399} + (1-t)^{398} + ... + 1 = 400}\)

Czy mógłbyś mi to trochę dokładniej wyjaśnić? Przez te parę dni starałem się to zrozumieć, ale jakoś nie wyszło .

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\1}\frac{tan(x^{400}-1)}{sin(x-1)}=\lim_{t\to\0}\frac{tan[(t+1)^{400}-1]}{sint}= ???}\)

I nie wiem co dalej...

thx z góry
Pozdrawiam

no tak, walnalem sie w odejmowaniu tam wszedzie ma byc \(\displaystyle{ 1+t}\) a nie \(\displaystyle{ 1-t}\).
pierwsze co robie to rozpisuje to co pod tangensem ze wzoru skroconego mnozenia na roznice n-tych poteg. potem opuszczam swobodnie sinusa i tangensa - w pierwszej linijce poprzedniego postu napisalem dlaczego. \(\displaystyle{ t}\) sie skraca i pozostaje suma czterystu skladnikow do ktorej pozostaje juz tylko wstawic zero.

W końcu wiem o co chodzi w zadaniu . Dzieki za pomoc g.

Siema, sa wakacje ale jakos nie moge sie doliczyc tej granicy swoimi sposobami... i chociaz nie znam reguly z ktorej nie mozna korzystac to poszperalem w ksiazkach i na szybkiego wyszlo mi "1"... moze ktos to sprawdzic bo nie wiem co jest grane. Najlepiej jakby ktos przeliczyl z reguly de L`Hospitala i wrzucil na forum.

ze szpitala wychodzi 400 bo nic inngo nie wyjdzie. masz
\(\displaystyle{ {400x^{399} (\tan^2(x^{400} - 1) + 1) \over \cos(x-1)}}\)
podstawiasz, wychodzi 400.

Dzieki, ze poskromiles moja glupote

Hm? A ja nie zrozumiałam dlaczego pominięto funkcje tg i sin? Co z tego, że \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} {\tan t \over t} = \lim_{t \to 0} {\sin t \over t} = 1}\)? No jasne wiadomo że \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{t}{sint}=1}\) i można sobie podstawić do wzoru, ale dlaczego sin i tg zostają pominięte?

Ponawiam prośbę o rozwiązanie tego zadania. Czy naprawdę można pominąć sin oraz tg t, zrozumiałbym jeśli pominięto by tylko sin i tg, bo przy \(\displaystyle{ t \rightarrow 0}\) są sobie równe, ktoś to rozumie?

potem opuszczam swobodnie sinusa i tangensa - w pierwszej linijce poprzedniego postu napisalem dlaczego.

korzystajac z tego ze \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} {\tan t \over t} = \lim_{t \to 0} {\sin t \over t} = 1}\) mamy

Czyli:

\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} {\tan (t((1-t)^{399} + (1-t)^{398} + ... + 1)) \over \sin t} =\lim_{t \to 0} {t \cdot \tan (t((1-t)^{399} + (1-t)^{398} + ... + 1)) \over \sin t \cdot t}}\)

I musimy jeszcze domnożyć przez pewien ułamek. Niech ktoś zgadnie jaki ;]