Dla jakich wartości parametru a....

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
beatka-k16
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 24 sie 2007, o 10:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 30 razy

Dla jakich wartości parametru a....

Post autor: beatka-k16 » 24 sie 2007, o 13:42

Dla jakich wartości parametru a równanie \(\displaystyle{ |x-1|=a^{2}-4a-1}\) ma dwa dodatnie pierwiastki?

Wszystko ładnie, tylko bez znaczników texa. Poprawiam. Calasilyar
Ostatnio zmieniony 24 sie 2007, o 13:55 przez beatka-k16, łącznie zmieniany 1 raz.

greey10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 993
Rejestracja: 31 lip 2006, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5 razy

Dla jakich wartości parametru a....

Post autor: greey10 » 24 sie 2007, o 13:49

Ostatnio zmieniony 24 sie 2007, o 13:53 przez greey10, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Dla jakich wartości parametru a....

Post autor: scyth » 24 sie 2007, o 13:50

Moduł jest nieujemny, więc żeby równanie \(\displaystyle{ | x-1|}\) miało dwa pierwiastki, to równanie kwadratowe mu być większe od zera. No to liczymy:
\(\displaystyle{ a^2-4a-1=(a-2)^2-5=(a-2-\sqrt5)(a-2+\sqrt5) > 0}\)
Czyli szukane \(\displaystyle{ a (-\infty, -2-\sqrt5) \cup (-2+\sqrt5,+\infty)}\)

beatka-k16
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 24 sie 2007, o 10:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 30 razy

Dla jakich wartości parametru a....

Post autor: beatka-k16 » 24 sie 2007, o 14:34

Hmmm... w odpowiedziach jest trochę inaczej...
(2-√6 ; 2-√5) u (2+√5 ; 2+√6)
mógłby to ktoś jeszcze sprawdzić??

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Dla jakich wartości parametru a....

Post autor: scyth » 24 sie 2007, o 14:43

Gdy \(\displaystyle{ a=10 > 2 + \sqrt6}\) to wtedy mamy \(\displaystyle{ |x-1| = 100-40-1=59 x=60 x=-58}\)

bullay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: -----
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 26 razy

Dla jakich wartości parametru a....

Post autor: bullay » 24 sie 2007, o 14:49

Chyba powinno byc tak:
\(\displaystyle{ 1>a^{2}-4a-1>0}\)
Jak to rozwiazesz powinnien wyjsc dobry wynik.
Ostatnio zmieniony 24 sie 2007, o 17:37 przez bullay, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Dla jakich wartości parametru a....

Post autor: scyth » 24 sie 2007, o 14:56

ups. Dodatnie pierwiastki... Równanie \(\displaystyle{ |x-1| = k}\) ma dwa dodatnie pierwiastki dla \(\displaystyle{ k \in (0,1)}\). Sprawdzone jest dla jakich \(\displaystyle{ a}\) zachodzi \(\displaystyle{ |x-1| > 0}\). Teraz trzeba sprawdzić dla jakich \(\displaystyle{ a}\) zachodzi \(\displaystyle{ |x-1| < 1}\), czyli:
\(\displaystyle{ 1 > a^2-4a-1 \\
0 > a^2-4a -2 = (a-2)^2 -6 = (a - 2 - \sqrt6)(a - 2 + \sqrt6)}\)

Stąd widać, że \(\displaystyle{ a (- 2 - \sqrt6, - 2 + \sqrt6)}\).

W takim razie szukane \(\displaystyle{ a (- 2 - \sqrt6, - 2 - \sqrt5) \cup (-2 + \sqrt5, - 2 + \sqrt6)}\).

Przepraszam za nieuwagę.

beatka-k16
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 24 sie 2007, o 10:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 30 razy

Dla jakich wartości parametru a....

Post autor: beatka-k16 » 24 sie 2007, o 17:18

Dzięki wielkie Tylko bardzo prosiłabym jeszcze kogoś o proste wytłumaczenie w jaki sposób określamy pierwiastki, w zależności (np. dwa pierwiastki różnych znaków lub jak wyżej...) Bo to nie bardzo rozumiem ??:

bullay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: -----
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 26 razy

Dla jakich wartości parametru a....

Post autor: bullay » 24 sie 2007, o 17:38

W funckji kwadratowej korzystamy ze wzorow viete'a. np:
dwa pierwiastki rownych znakow, czyli: \(\displaystyle{ x_1x_2}\)

ODPOWIEDZ