Matematyka.pl

Zadanie brzmi, sprawdź czy funkcja

\(\displaystyle{ d(x,y) = \sin |x-y|}\)

jest metryką na \(\displaystyle{ \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]}\)

Mam problem z warunkiem trójkąta

\(\displaystyle{ \sin |x-y| \le \sin |x-z| + \sin |y-z|}\)

Prosiłbym o podpowiedzi.

Z góry dzięki

Pokaz to najpierw dla \(\displaystyle{ z = 0}\) , a nastepnie wykorzystaj niezmienniczosc ze wzgledu na przesuniecia.

To niezmienniczość trzeba pokazać

Chyba zrobiłem, tylko niech się upewnię.
Wystarczy skorzystać z tych wzorów?

\(\displaystyle{ \sin\alpha + \sin\beta = 2\cdot\sin \left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right) \cdot\cos \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right)}\)

\(\displaystyle{ |x-y| \le |x-z| + |y-z|}\)

oraz

\(\displaystyle{ |x-z| \le |x-y| + |y-z|}\)

Pokaz jak to robisz.