Parzysta liczba sukcesów prób Bernoulliego.

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Parzysta liczba sukcesów prób Bernoulliego.

Post autor: Emiel Regis » 23 sie 2007, o 23:47

Obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania parzystej liczby sukcesów w ciągu n prób Bernoulliego.

Moje rozwiazanie:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}C_n^{2k} p^{2k} (1-p)^{n-2k}}\)
Chcialbym wiedzieć czy jest ono poprawne oraz czy nie da się go uproscić (w ksiazce z tyłu jest dość zgrabny wynik bez sumy). Ew. zrobić inną metodą żeby nic nie trzeba było sumować.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3506
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1260 razy

Parzysta liczba sukcesów prób Bernoulliego.

Post autor: wb » 24 sie 2007, o 07:03

Wzór nie jest poprawny choćby z powodu symbolu \(\displaystyle{ C_n^{2k}}\) ,
który np. dla k=n nie istnieje.

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Parzysta liczba sukcesów prób Bernoulliego.

Post autor: Emiel Regis » 24 sie 2007, o 08:28

No tak, to jest racja ale łatwo to akurat poprawić:
\(\displaystyle{ \sum_{k \mathbb{N} 2k qslant n} C_n^{2k} p^{2k} (1-p)^{n-2k}}\)

jovante
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 204
Rejestracja: 23 cze 2007, o 14:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Pomógł: 56 razy

Parzysta liczba sukcesów prób Bernoulliego.

Post autor: jovante » 24 sie 2007, o 17:00

Moim zdaniem bardziej elegancki zapis od Twojego to:

\(\displaystyle{ P(A)=\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]} {n \choose 2k}p^{2k}(1-p)^{n-2k}}\)

i faktycznie można go uprościć

\(\displaystyle{ 1=(p+1-p)^n=\sum_{k=0}^{n} p^{k}(1-p)^{n-k}=\\ \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} {n \choose 2k}p^{2k}(1-p)^{n-2k}+\sum_{k=0}^{\left\lceil\frac{n}{2}-1\right\rceil} {n \choose 2k+1}p^{2k+1}(1-p)^{n-2k-1}=\\ \sum_{k=0}^{\left\lceil\frac{n}{2}-1\right\rceil} {n \choose 2k+1}p^{2k+1}(1-p)^{n-2k-1}-\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} {n \choose 2k}p^{2k}(1-p)^{n-2k}+\\ 2\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} {n \choose 2k}p^{2k}(1-p)^{n-2k}=-(1-p-p)^n}+2\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} {n \choose 2k}p^{2k}(1-p)^{n-2k}}\)

czyli

\(\displaystyle{ 1+(1-2p)^n=2\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} {n \choose 2k}p^{2k}(1-p)^{n-2k}}\)

zatem

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} {n \choose 2k}p^{2k}(1-p)^{n-2k}=\frac{1+(1-2p)^n}{2}}\)

ODPOWIEDZ