Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
polskimisiek pisze:Można w taki sposób, że jeśli a jest nieparzyste to prawa strona dzieli się przez cztery
No właśnie nie bardzo, gdy l jest nieparzyste, nie możemy sobie tak tego rozłożyć (tzn. możemy, ale mamy iloczyn dwóch liczb niewymiernych)...
Prosto dojść, że jeśli równość jest spełniona, to \(\displaystyle{ a \equiv 7 \ (mod 12)}\) i \(\displaystyle{ l \equiv 1 \ (mod 2)}\). Pytanie - jak tu dojść do sprzeczności? Znasz polskimiśku solucję?
No tak, mój błąd tutaj. Ale znalazłem inne mam nadzieje poprawne rozwiązanie. Załóżmy, że równość podana w zadaniu zachodzi. Skoro \(\displaystyle{ p _{1},p _{2},\ldots,p _{n}}\) są kolejnymi liczbami pierwszymi to \(\displaystyle{ p _{1} =2}\) więc: \(\displaystyle{ 2\nmid p _{1}p _{2}\ldots p _{n}+1 \Longrightarrow 2\nmid a ^{l} \Longrightarrow 2\nmid a}\)
więc: \(\displaystyle{ 4|(a-1)(a ^{l-1} + a ^{l-2}+\ldots +1) \Longrightarrow 4|p _{1}p _{2}\ldots p _{n}}\)
Sprzeczność.
Masz sumę l liczb nieparzystych, czyli chyba zależy od l, czy jest ona parzysta. A co do tego chińskiego twierdzenia o resztach, to nie można po prostu rozpatrywać: \(\displaystyle{ a^{l} \equiv 1 (mod \ p_i)}\)
I skoro rozwiązaniem jest: \(\displaystyle{ a^{l} = 1}\)
to otrzymujemy sprzeczność. Nie znam się na tym, zatem pytam, czy tak będzie poprawnie?
Sam sobie odpowiem; nie będzie, bo to tylko rozwiązanie z przedziału \(\displaystyle{ }\), czyli nie wyklucza rozwiązania: \(\displaystyle{ a^{l} = p_1p_2\ldots p_n +1}\)
OK, przedstawię ciekawe rozwiązanie - pokażemy, że równość nie może zachodzić. Pokażemy, że L nie może być wielokrotnością żadnej z \(\displaystyle{ p_1,...,p_n}\), nie wprost: \(\displaystyle{ L=kp_i}\), wówczas niech \(\displaystyle{ a^k=m}\), co za tym idzie mamy równość: \(\displaystyle{ L=m^{p_i}=p_1...p_n+1=P}\), zapiszmy: \(\displaystyle{ m=qp_i+r}\), gdzie oczywiście: \(\displaystyle{ q qslant 1}\) i \(\displaystyle{ 1 qslant r qslant p_i-1}\).
Zatem: \(\displaystyle{ 1 \equiv P=L=m^{p_i} \equiv r^{p_i} \ (mod \ p_i)}\), z drugiej strony z MTF: \(\displaystyle{ r^{p_i} \equiv r \ (mod \ p_i)}\), zatem r=1 (ponieważ jest mniejsze od \(\displaystyle{ p_i}\)). Z drugiej strony: