stopien rozszerzenia ciala

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
jagoda18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 2 mar 2007, o 19:05
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 1 raz

stopien rozszerzenia ciala

Post autor: jagoda18 » 23 sie 2007, o 20:14

Prosilabym o pomoc jaki jest stopien rozszerzenia:
\(\displaystyle{ [Q(i\sqrt{3},i\sqrt{7}):Q(i\sqrt{3})]}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Arek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1729
Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 12 razy

stopien rozszerzenia ciala

Post autor: Arek » 23 sie 2007, o 20:49

\(\displaystyle{ Q(i\sqrt{3},i\sqrt{7})=Q(i\sqrt{3},i\sqrt{3}\cdot i \sqrt{7}) = Q(i\sqrt{3},-\sqrt{21}) = Q(i\sqrt{3})(-\sqrt{21})}\)

Weźmy \(\displaystyle{ f = x^2 - 21 Q(i\sqrt{3})[x]}\)

Jest on nierozkładalny nad \(\displaystyle{ Q(i\sqrt{3})}\), zatem skoro \(\displaystyle{ f(-\sqrt{21})=0}\), to stopień rozszerzenia wynosi 2.

agusia_a
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 28 sie 2007, o 16:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Tarnów

stopien rozszerzenia ciala

Post autor: agusia_a » 28 sie 2007, o 17:35

Ja bym to zrobiła inaczej..
Mianowicie:

Szukamy \(\displaystyle{ f\in\mathbb{Q}(i\sqrt{3})[x]}\) - musi być unitarny, nierozkładalny w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(i\sqrt{3})[x]}\) oraz \(\displaystyle{ f(i\sqrt{3})=0}\)
Czyli \(\displaystyle{ f=x^{2}+7 \mathbb{Q}(i\sqrt{3})[x]}\)
\(\displaystyle{ f\in\mathbb{Q}(i\sqrt{3})[x]}\) - unitarny, nierozkładalny w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(i\sqrt{3})[x]}\) , bo nie ma pierwiastków w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(i\sqrt{3})[x]}\) , ponieważ \(\displaystyle{ i\sqrt{7}}\) nie należy do \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(i\sqrt{3})[x]}\).

Baza: \(\displaystyle{ 1,i\sqrt{7}}\).

Staąd stopień rozszerzenia wynosi 2.

ODPOWIEDZ