znajdz pochodne \(\displaystyle{ \frac{dx}{dy}}\), \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}}\) funkcji uwiklanych warunkiem
\(\displaystyle{ x^{3}y-x y^{3}= a^4}\), a- stala
pochodne
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
pochodne
\(\displaystyle{ f(x,y)=x^3y-xy^3-a^4}\).
Niech \(\displaystyle{ (x_0, y_0): \ f(x_0,y_0)=0}\).
Jeśli \(\displaystyle{ \frac{df}{dy} (x_0, y_0) \ne 0}\) to wiemy, że w pewnym otoczeniu \(\displaystyle{ x_0}\) istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana zmiennej \(\displaystyle{ x}\). Ponieważ pochodna cząstkowa \(\displaystyle{ \frac{df}{dx} = 3x^2y-y^3}\) jest ciągła to możemy skorzystać z wzoru na pochodną funkcji uwikłanej:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{df}{dx}}{\frac{df}{dy}}}\).
No i podobnie dla \(\displaystyle{ \frac{dx}{dy}}\).
Zatem jedyne, co trzeba wykazać, to niezerowanie się pochodnej cząstkowej w miejscu zerowym funkcji \(\displaystyle{ f}\)...
Niech \(\displaystyle{ (x_0, y_0): \ f(x_0,y_0)=0}\).
Jeśli \(\displaystyle{ \frac{df}{dy} (x_0, y_0) \ne 0}\) to wiemy, że w pewnym otoczeniu \(\displaystyle{ x_0}\) istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana zmiennej \(\displaystyle{ x}\). Ponieważ pochodna cząstkowa \(\displaystyle{ \frac{df}{dx} = 3x^2y-y^3}\) jest ciągła to możemy skorzystać z wzoru na pochodną funkcji uwikłanej:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{df}{dx}}{\frac{df}{dy}}}\).
No i podobnie dla \(\displaystyle{ \frac{dx}{dy}}\).
Zatem jedyne, co trzeba wykazać, to niezerowanie się pochodnej cząstkowej w miejscu zerowym funkcji \(\displaystyle{ f}\)...