pochodne

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
rafalmistrz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 16 kwie 2007, o 22:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: bielsk
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 2 razy

pochodne

Post autor: rafalmistrz » 23 sie 2007, o 20:08

znajdz pochodne \(\displaystyle{ \frac{dx}{dy}}\), \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}}\) funkcji uwiklanych warunkiem
\(\displaystyle{ x^{3}y-x y^{3}= a^4}\), a- stala
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

pochodne

Post autor: scyth » 24 sie 2007, o 12:07

\(\displaystyle{ f(x,y)=x^3y-xy^3-a^4}\).
Niech \(\displaystyle{ (x_0, y_0): \ f(x_0,y_0)=0}\).

Jeśli \(\displaystyle{ \frac{df}{dy} (x_0, y_0) \ne 0}\) to wiemy, że w pewnym otoczeniu \(\displaystyle{ x_0}\) istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana zmiennej \(\displaystyle{ x}\). Ponieważ pochodna cząstkowa \(\displaystyle{ \frac{df}{dx} = 3x^2y-y^3}\) jest ciągła to możemy skorzystać z wzoru na pochodną funkcji uwikłanej:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{df}{dx}}{\frac{df}{dy}}}\).
No i podobnie dla \(\displaystyle{ \frac{dx}{dy}}\).

Zatem jedyne, co trzeba wykazać, to niezerowanie się pochodnej cząstkowej w miejscu zerowym funkcji \(\displaystyle{ f}\)...

ODPOWIEDZ